神马文学网科学松鼠会 » Blog Archive » 看这片雪花：美丽外表下的大怪物？
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/25 23:12:42
很久很久以前，有一个地主。地主有一个老管家，当了一辈子仆人，打算告老归田。几十年主仆，也算有点情分。于是地主说，这样吧，你从我这里扯一根线，到我的田里圈一块地，圈多少算多少，全归你。老管家是个神人，眼珠子转了转，说：“你让我扯一根线，那我就扯一根直线吧。直线可不是线段哦，它的长度是无穷大。”哟，地主一惊，这不是要连我家一块儿吞了么。不过所谓道高一尺魔高一丈，他把袖子一捋： “好啊，无穷大就无穷大，但是得我来围。”
怎么围呢？他先画了一个等边六角形，说，这块地有一亩。管家半是好奇地点点头。接着地主把各边的三分之一抹去，换成等长的两条线段：
这样，每条边的长度增加了三分之一。从形状上看，每边多出了一个小号的三角形。然后他在每个新的小三角形上重复同样的步骤，得到了更多更小的三角形。这样不停地重复下去，得到的图案看起来就像一片雪花。
根据地主的规则，把每条边的中间部分抹去，换成两条线段。那么一条边就变成了四条边。像这样：
地主说，如果我永远地进行下去，这片雪花的周长将变成无穷大，里面圈起来的面积都归你。管家大喜过望，永远进行下去，这面积不就永远增加下去嘛！赶快说：“老爷，你一言既出，可不许反悔啊！”地主说，“那当然，该多少是多少。”
咦，这么爽快，难道这里头有猫腻？可不能被他忽悠了啊。管家嘛，精打细算可是看家本领，于是他盘算开了：这个图案有很明显的规律性——每次增长，都是在每条小边上增加一个三角形。那么如果知道总共有几条小边，也就能算出总共增加多少个三角形。嗯，看来，最关键的是找出边数增加的规律。
起始的六角形有12条边，那么第一步得到的新图形就有12×4=48条边，第二步得到的图形就有12×4x4=192条边，接下去就是12×4x4×4条边。。。。所以，从六角形开始，第一次增加了12个三角形，第二次增加了12×4=48个，第三次12×4x4=192个，接下去是12×4x4×4 个。。。
太好了，最后就是算出每次增加的三角形的面积，把它们加起来就能算出总面积。这很容易，因为新三角形的边长都是老三角形的三分之一，所以新三角形的面积是老三角形的九分之一。老管家一系列推算的心理活动全在这儿。经过一番心算，他终于得出了面积的计算公式：
啊哈，原来是一个等比数列！等比就是不停地乘上一个相同的比值。老管家一眼就看出来，这个式子就是不停地乘上4/9。他记起高中老师教过怎么算等比数列的和。对于形如
的式子，如果r小于1的话，即使这个数列无限延伸下去，它的和也是有限的，可以用
这个公式算出来。那么，这里a是1/9，r是4/9，所以s就是
。不要忘了起始的那个1，所以总面积就是一又五分之一，即1.2亩。
管家傻眼儿了，费了这么半天劲，原来才一亩二分地啊！是不是搞错了？地主肯定耍花招了，这么下去周长肯定不是无穷大。管家重新检查了一下周长：每次抹去各条边的三分之一，换成两条相同长度的线段，那么就变成了原先的三分之四。每条边增长相同的比例，总周长就也增长到原先的三分之四。如果起始的周长是L，那么第二步就变成
L，第三步是
L，……，第n步就是
L。管家记得高中数学老师也教过，如果每次都乘上一个大于1的比数，这样永远进行下去，最后的数值就趋于无穷大。也就是说，只要我们不停地让n增加，周长L是没有极限的。
管家这回可懵了。这是个什么怪物，无穷的周长，却只围成一亩二分地！他看了看一脸坏笑的地主，真想一头撞死算了。老大，你牛，你不愧是地主！
当我们的老管家在他的一亩二分地上享受夕阳红的时候，我们再看一眼这个奇妙的雪花吧。你有没有发现，其实它可以是任意的大小？如果开始我们规定六角形的面积是1公顷而不是1亩，那雪花的面积就是1.2公顷。或者如果把六角形缩小成1平方米，那就会得到1.2平方米的雪花。可是，不管面积大还是小，周长永远趋于无穷。奇怪不奇怪？
最后有一个小把戏留给你。这是一个“思想实验”，因为我们不能把有限的一辈子投入到无限的画雪花中去，呵呵。准备好，开始挑战自己的想象力吧。给你一支水彩笔。你能把一个1.2平方分米（巴掌大小）的雪花涂满颜色吗？如果能，你是怎么处理边缘的呢？因为边缘是无穷长的呀？如果不能，那么我保持每分钟涂0.1平方分米的速度，12分钟不就涂完了吗？0.1乘以12明明就是1.2呀？
怎么样，给我一个答案？
怎么围呢？他先画了一个等边六角形，说，这块地有一亩。管家半是好奇地点点头。接着地主把各边的三分之一抹去，换成等长的两条线段：
这样，每条边的长度增加了三分之一。从形状上看，每边多出了一个小号的三角形。然后他在每个新的小三角形上重复同样的步骤，得到了更多更小的三角形。这样不停地重复下去，得到的图案看起来就像一片雪花。
根据地主的规则，把每条边的中间部分抹去，换成两条线段。那么一条边就变成了四条边。像这样：
地主说，如果我永远地进行下去，这片雪花的周长将变成无穷大，里面圈起来的面积都归你。管家大喜过望，永远进行下去，这面积不就永远增加下去嘛！赶快说：“老爷，你一言既出，可不许反悔啊！”地主说，“那当然，该多少是多少。”咦，这么爽快，难道这里头有猫腻？可不能被他忽悠了啊。管家嘛，精打细算可是看家本领，于是他盘算开了：这个图案有很明显的规律性——每次增长，都是在每条小边上增加一个三角形。那么如果知道总共有几条小边，也就能算出总共增加多少个三角形。嗯，看来，最关键的是找出边数增加的规律。
起始的六角形有12条边，那么第一步得到的新图形就有12×4=48条边，第二步得到的图形就有12×4x4=192条边，接下去就是12×4x4×4条边。。。。所以，从六角形开始，第一次增加了12个三角形，第二次增加了12×4=48个，第三次12×4x4=192个，接下去是12×4x4×4 个。。。
太好了，最后就是算出每次增加的三角形的面积，把它们加起来就能算出总面积。这很容易，因为新三角形的边长都是老三角形的三分之一，所以新三角形的面积是老三角形的九分之一。老管家一系列推算的心理活动全在这儿。经过一番心算，他终于得出了面积的计算公式：
啊哈，原来是一个等比数列！等比就是不停地乘上一个相同的比值。老管家一眼就看出来，这个式子就是不停地乘上4/9。他记起高中老师教过怎么算等比数列的和。对于形如
的式子，如果r小于1的话，即使这个数列无限延伸下去，它的和也是有限的，可以用这个公式算出来。那么，这里a是1/9，r是4/9，所以s就是。不要忘了起始的那个1，所以总面积就是一又五分之一，即1.2亩。管家傻眼儿了，费了这么半天劲，原来才一亩二分地啊！是不是搞错了？地主肯定耍花招了，这么下去周长肯定不是无穷大。管家重新检查了一下周长：每次抹去各条边的三分之一，换成两条相同长度的线段，那么就变成了原先的三分之四。每条边增长相同的比例，总周长就也增长到原先的三分之四。如果起始的周长是L，那么第二步就变成
L，第三步是L，……，第n步就是L。管家记得高中数学老师也教过，如果每次都乘上一个大于1的比数，这样永远进行下去，最后的数值就趋于无穷大。也就是说，只要我们不停地让n增加，周长L是没有极限的。管家这回可懵了。这是个什么怪物，无穷的周长，却只围成一亩二分地！他看了看一脸坏笑的地主，真想一头撞死算了。老大，你牛，你不愧是地主！
当我们的老管家在他的一亩二分地上享受夕阳红的时候，我们再看一眼这个奇妙的雪花吧。你有没有发现，其实它可以是任意的大小？如果开始我们规定六角形的面积是1公顷而不是1亩，那雪花的面积就是1.2公顷。或者如果把六角形缩小成1平方米，那就会得到1.2平方米的雪花。可是，不管面积大还是小，周长永远趋于无穷。奇怪不奇怪？
最后有一个小把戏留给你。这是一个“思想实验”，因为我们不能把有限的一辈子投入到无限的画雪花中去，呵呵。准备好，开始挑战自己的想象力吧。给你一支水彩笔。你能把一个1.2平方分米（巴掌大小）的雪花涂满颜色吗？如果能，你是怎么处理边缘的呢？因为边缘是无穷长的呀？如果不能，那么我保持每分钟涂0.1平方分米的速度，12分钟不就涂完了吗？0.1乘以12明明就是1.2呀？
怎么样，给我一个答案？
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