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讲给语文老师的统计知识：什么是标准分

默认分类 2010-08-08 20:40:46 阅读79 评论0   字号：大中小 订阅

一、什么是标准分数？

标准分数是一个统计术语，它描述的是某一个分数在团体中所处的位置。在统计学中，标准分数的计算公式：Z=Xi-XS。公式中Xi的表示某人实测成绩，在统计学中称为原始分；公式中的X和S表示标准化团体某个学科某次测验的平均分和标准差。X表示测验分数的集中趋势，用公式X=XiN计算；S表示测验分数的离散程度，用公式S=(Xi-X)2N计算，S的值越大，说明测验分数离散程度越大。

二、标准分数有什么用处？

标准分数其实就是以0为平均数，以标准差为单位的位置量数。一个Z分数表示的是数轴上的一个点，当原始分正好等于平均分时，Z＝0；当原始分等于X+S时，Z=+1； 当原始分等于X+2S时，Z=+2；以此顺延。同理，当原始分等于X-S时，Z=－1； 当原始分等于X-2S时，Z=－2；以此顺延。我们可以将某次测验的所有原始分转换为Z分数，就可以获得数轴上的若干个点，Z值越大，表示所处的位置越靠前，成绩越好。不同测验的原始分，都可以通过公式，依据本次测验的平均分和标准差，将本次测验的原始分转换为Z分数，用数轴来表示标准分的分布位置。

例如，不同国家的货币，如马克、英镑，它们的数值间因为没有共同的单位是不能直接进行比较和加减的。只有将它们转换为一个统一的标准，才有可比性。为了对欧洲各种货币进行这种转换，就出现了欧元。欧元就相当于标准分，马克、英镑就相当于原始分，而各自的兑换率就相当于标准差。马克、英镑按照各自的兑换率换算成欧元，就可以进行比较或相加。同样，对不同学科、不同时间的测验的原始分，也应该进行这样的转换才能进行分数的加减或者比较。

有人认为，各科或每次考试分数的满分都是100分，最低分都是0分，所以各科的考试分数不存在换算的问题。这种看法是不科学的。因为，在目前我们还不可能将各科考试或者每一次考试的难度控制在统一的水平，考试难度大的科目，总体分数都偏低，而难度小的科目，总体分数都偏高。同一分值，在考试难度大的科目中它是高分，但在难度低的科目中可能是低分。

例如，语文必修加选修卷的平均分为71分，必修卷的平均分为77分，这时同样一个75分，在A、B卷里的含义就不一样了。对必修加选修卷来说，75分比平均分高，应该是偏高分；而对于必修卷，75分则比平均分低，应该是偏低分。

对不同科目的考试，也是同样的道理。例如，生物平均分68分，历史平均分76分，化学平均分84分。如果某学生这三门科目都考75分，对于生物来说，他的考分明显高于平均分，应该是学得比较好的；对于历史来说，他是中等水平；而对于化学来说，他的考分明显偏低，他的化学学得不好。

不同学生测验所得的原始分只能用于在同一测验中进行比较。不同的学科、不同的测验，因为题目的数量或题目的难易程度不一样，原始分也就没有等值性，用原始分进行不同学科的比较或将原始分相加都是不科学的。那么，要怎样做才能科学、客观地反映学生的考试成绩的好坏呢？这就需要使用标准分数了。

用上面提到的两个例子，我们可以将学生各科的成绩都转化为标准分数再进行比较。在物理的两份卷的例子中，通过对团体分数的计算，我们得到必修加选修卷的标准差为17分，必修卷的标准差为16分。在必修加选修卷中，75分对应的标准分为ZA=Xi-XS=75-7117=024；在必修卷中，75分对应的标准分为ZB=Xi-XS=75-7716=-0125。在数轴上，0.24的位置比-0.125靠前，我们就很可以得出结论，必修加选修卷考75分比必修卷考75分要优秀的结论。在三门科目考试比较的例子里，我们也可以做同样的换算。通过对团体分数的计算，得到生物考分的标准差为14分、历史考分的标准差为13分、化学考分的标准差为14分，代入换算公式，我们就可以计算出，当原始分为75分时，在生物科目中，对应的Z分数为0.5，在历史科目中，对应的Z分数为-0.08，在化学科目中，对应的Z分数为-0.64。将标准分数都表示在数轴上，我们就可以清楚地分辩高低了。

综上所述，我们不难得出这样的结论，将学生各门学科的考试分数都转换为标准分数，可以更客观、更公平、更科学地评价学生的成绩和水平。而且标准分数具有等值性，还可以进行加减运算，也能对学生成绩作出综合评价。标准分还有一个特点，就是所有考生的标准分的分布都呈正态分布形态，这样可以根据正态分布的规律，按照规定的比例将学生成绩分为优、良、合格、差等级，也可以减少分数的负面效应。

三、标准分在高中会考中的运用

用Z=Xi-XS公式将原始分转换为标准分，计算出的Z值都比较小，而且当某学生的考分正好等于平均分时，Z分数等于0，如果低于平均分Z分数就出现负值。这样的数值，学校、教师、学生、家长、社会接受起来比较困难。因此，统计学都会根据实际需要，对Z分数作一个等值变换，将Z分数扩大若干倍，并确定一个共同的平均分，这样即保证了采用标准分数评价的公平性和科学性，又使大家能接受它。这种等值变换是将Z分数转换为T分数，公式为T=A+BZ。在公式中，A就是一个共同的平均分，B是Z分数扩大的倍数也是T分数的标准差。

高中会考使用的标准分，就是T分数。它由计算机按照设定的程序自动转换：首先分别计算各科考试原始分的平均分和标准差，然后将每个学生的原始分代入公式Z=Xi-XS，计算每个考生分学科的Z分数，再将考生的Z分数通过T分数计算公式T=500+50Z转换为T分数，最后按照统一规定的界限划分等第。

会考标准分与等第的对应关系、各等第所占比例如下：

  等第             优秀        良好           合格          不合格

约占百分比       25％        45％            25％           5％

对应的标准分（T）T≥535  535＞ T≥480    479＞T≥420      T＜420