数学易学——从形象到抽象转换

自己主宰时 数学更易学 (2)
***英国的露西，描述她刚满5岁的儿子：“有一次，给他穿衣服时，他为了好玩而一口气数到一百。这是我第一次意识到他能做到这一点！他爱把数字磁铁排成一行，然后找到我，让我告诉他这个数字是多少，尤其是当数字是个上百万的大数时！他玩冰箱数字磁铁时，能认出一千以下的数。他在房前屋后走路时，注意到街道两侧房屋的门牌号码， 已经学会了什么是奇数和偶数。他现在可以在其他场合识别出奇数和偶数。他还学会了成对地查数，预测下一个门牌号码。他完全是无师自通，自学成才，我们从未正式教过他算术。"
***凯西说：“我们6岁的大儿子，一直喜欢数字。4岁之前，他可以数到199。他喜欢查数，有说他还拉着我一起查数，他喜欢作有身体节奏的事情。他一边跳一边让我给他数，或在沙发上陪他一起跳。他因为想要知道如果自己的东西翻一番，会有多少, 他就开始学习数学。我们的学习进度也翻了一番！"
在他们继续玩数学的游戏时，小孩子们往往发现加，减，乘，除，以及其它等等运算的基本概念。一旦他们弄清了概念，执行这些运算操作的实际方法，就很容易了。以下是从很多故事中摘录的几个：
***珍妮特说她的小女儿：“她与大多数孩子做的一样，用手指，食物，玩具，游戏卡片和游戏板上的空格，和电脑玩游戏，发展出查数技巧。 ...这就自然会导致用手指和东西做加减法，然后在她的脑海中做加减。通常情况下，她会突然问这样的问题，'4加上10等于14，对吗？'我说，'是的。她马上问，'那么五加十是不是等于十五，七加十是不是等于十七？' 她很快发现了数字加减运算的模式，并学会运用这些她自己独立发现的规则，并使用越来越大的数值。在她7岁时，这种对于建立数字模式的真正的兴趣，表现的最明显。而我自己在青少年时，在学校里很害怕数学。但我必须说，看着我的女儿与数学的关系发展的这么好，让我对数学有了一个新的认识。对于数字计算上，我有了一种以前从来没有感觉到的，清晰的心态。在她发展与数学的关系过程中，我也看到了真正的美。"
***主张非学校教育的妈妈Lori说：“有一件事情刚刚在两分钟前发生。我5岁的小儿子正在玩垒高拼装玩具，而我在另一个房间里，他叫我过去，他的脸上带着微笑，高兴的在沙发上跳跃，'妈妈！什么数是4加4加4加4？'我说，'16。'他笑着说，'什么是8加8？'我说，'16。' 他笑了，说，'什么是2加2加2 ...' 他完全正确地了解，需要多少个2，才能得到16。很明显，在他问这些问题之前， 已经知道了答案。这些可不是死记硬背由别人教的东西，而是他通过玩垒高拼装玩具，在他自己脑袋里做数字游戏，和以手指计算，自己悟出来的概念。而他因为完全靠自己，获得了操纵数字的能力而兴奋不已。对他来说，这就是一场好玩的游戏。"
***A-L在谈到她的小儿子时说：“当他3~4岁时，有一天他走进我们的起居室，注意到在那里我们有一个很大的窗户，上下有四排，每排七个窗格。 所以，他说 '如果我一排一排地数到7，一共数四遍，那么它就是28扇窗户。' 那时，我不认为我们之间曾经谈到过乘法，但是，他基本上是根据自己对于窗户的观察，自己想明白了乘法是怎么一回事，以及如何做的。他开始尝试自己去做，将钮扣按我们窗户的样子，排列在棋盘格子中。他的答案基本上仍然不得不靠一个一个地查数，因为他还不会背小九九，但他知道乘法是如何工作的以及乘法的意思是什么。"
***芭芭拉来信说到她的非学校教育的小女儿时，这样说：“她刚刚告诉我，她和她的朋友一直玩什么游戏，然后我们都沉默了好几分钟。她忽然很兴奋地大声说道：'噢，我明白了！'我问她，那是什么意思，她回答说，'我明白除法了。' ...她接着解释说，如果你有一个整体的什么东西，你想把它们分成一些数量相等的部分，这就是除法。接着她让我考考她。她确实知道如何做简单的除法。在此之前，我们从来没有碰过除法问题。我从来没有给过她任何除法问题去求解，我甚至也没试图解释过除法是什么。 ...我的故事没有解释她是如何学会这些数学概念的。但我确实知道，我们的生活方式给了她时间来整合与思考那些她看到和听到的事情。她以自己的方式学习，她必须做出事情之间的连接，把事情猜想出来，测试验证她自己的理论。而且我敢肯定，当她自己得到答案以后，她会记住它并使用它，因为那是她自己的发现。"
***奥罗尔说她的儿子：“他7岁时的一个晚上，带回家一包小木棍。像许多孩子一样，他喜欢把它们摆放在盘子里，按颜色分开，用它们玩游戏。那一天，他把九根木棍分为三乘三堆。他说，'你知道吗，九这个数字是个平方。'我告诉他，这就是所谓的平方数，他也可以用四乘四排一个正方形。他最终作出了越来越大的正方形...当数字太大，无法以木棍来做时，或者也许是因为他开始厌烦这样做了，他就用计算器来算那些更大的平方数，并说他们记下来。"
一些读者无疑会想，“好吧，一个好老师可以使用这些各种各样的示例教授数学，从而帮助孩子学习，可以比他们通过自我发现更快速，更有效。" 但这种推理的问题是，每一个孩子都是不同的，没有那个老师，无论多么聪明，可以进入每一个孩子的心灵，并想出一个量身定制的高着儿，就在那个时候，让那个孩子对数学问题开窍。这就是为什么"自主学习" - 由孩子自主负责的学习 - 从长远来看，几乎总是比任何最聪明的老师可以传授的更有效, 而且记得更持久。
作为工具的数学
数学不只可以是游戏。在我们的日常生活中，它也可以是一个有用的工具，让我们在日常生活中自然地学会使用它。我收到的大多数的孩子学数学的故事，至少包括一些把数学作为日常生活的工具来学习的故事。在这里选了几个这样的故事：
***有七个孩子的家庭学校的母亲艾米说：“仅仅通过处理金钱和做饭，他们都知道了如何作除法和乘法，计算百分比，加减法。我相信这有助于他们必须分享有限的各种美味小吃，不仅在他们7个人之间，而且还要与的他们形影不离的朋友们一起分享。食物和金钱教孩子们学会了很多数学，强烈地激励他们去学习。"
***安妮说：“所有我的五个孩子都学会了阅读食谱，如何划分测量食材，以及如何对配方的成分加倍或加两倍。他们学会了读地图和计算出里程。他们都会玩不同的需要使用数字和/或推理能力的打牌游戏和其它棋类游戏 - 宇野牌，跳过博牌，打牌，等等。当他们参与当地的体育活动时，他们学会了如何记录得分牌，算平均得分。一个儿子学会了如何使用电子表格跟踪他的球队的击球率。他们都保持自己的银行储蓄账户账簿。"
***文森特在一家萨德伯里学校作职员，他给我讲了这个可爱的故事：“不知怎的，我们总是剩下一堆零钱，需要卷起来送去银行存起来。我们一位很年轻的学生选择[在我的帮助下]干这样的活。我们把它们分成五个一堆，数到五十就把它们卷起来。这仅仅是个开始。 ...一个星期后，我们的一位很年轻的儿童邀请我在他的游戏里，扮演一个冒险者的角色， 我在游戏里"躲吸血蝙蝠"。 ..帮我查零钱的小孩和其他儿童看着我们玩并且学习。地牢头子在"灵巧性检查dexterity check"中，扔出四枚五分硬币，扮演吸血蝙蝠的人优美地跳着，旋转着单手落在铅笔粗细的细枝上。我突然听到帮我查零钱的小孩的话：'四乘五是二十，五乘四是二十。' 乘法交换律的检查。"