有型可循的与圆上的点的坐标有关的最值问题

韩玉琴
(乌兰浩特市第四中学，内蒙古乌兰浩特137400)
与圆上的点有关的最值问题是学习圆的重要题型之一．
是各类考试的热点问题。此类问题的目标函数的形式变化不
定，解法灵活多变，使不少学生感到困难重重。为了方便大家
掌握，本文按目标函数的形式，归纳了三种题型及其解法。
一
、u=ax+by,~(截距型)
对此类问题，通常先将其化为y=-_a_ +一u， 再根据u的几
b b
何意义(直线在y轴上截距的b倍)确定函数最值。
例1．已知点P(x，y)在圆x一2) +(y+1) =36Az，求u=x y的
最大值和最小值
方法一：分析u=x+yq~的x、y是圆(x一2)‘+(y+1) =36Az的点
的坐标，所以点x，y)是直u=x+y与圆x一2)‘+(y+1) =36的公
共点，用代入法消去Y后，关于x的一元：二次方程有实数解。
．
‘-△／>0，或用圆心(2，一1)到直线x+v=u的距离小于等于r．
求u的范围。
(I)解：{(x一2)+(y—I)=36
【u=x+y== y=u—X
．
·
．(x一2) +(u—x+1)。=36，
x 一4x+4+LI2+
X
2
+1—2ux+2u一2x一36=0．
2x2
_ (6+2u)x+u2-31：0
，
． ． △=(6+2u)"-4x2x(u'-31)=36+24u+4u~-8u +248—16uI>0
4u一一8u一284≤ 0． 即u -2u一71≤0．
2
— 2+ 姗_6 一 +6
。
．
·
．u的最大值是1+6、／ ，最小值是1-6、／ 。
(Ⅱ)几何法
圆心(2，一1)到直线x+v=u的距离d，
则d：_[2-1-ul≤6
．
．
‘
．(1一u)≤72，
一6V 2≤1-u≤6x／2 j一6、／2一l≤一u≤6、／2—1．
．
。
．1—6x／2≤ll≤l+6、／2。
(1lI)参数法
分析：把圆上的点用“点参”来表示，通过三角函数求出最
大值、最小值，从而把几何问题转化为“三角问题”来解决。此
种方法比较直接。
由题意知圆的一个参数方程为{vx：=2一
-
1+
6c
6
o
s
s
i
O
0，
．
‘
．u=x+y=l+6(sinO+cosO)=1+6＼／2 sin(O+I．)，
·
·
· 当o -2k叶詈(k z)，即当0．2k1T+詈(k z)时，u的最大
~Y,J1+6V'2 ；当 ~d=2k'rr～ (k∈z)时，u的最小值为1_6、／ 。
二、u：Y-b(常称斜率型)
X—a
例2．设实数x,y满足x +(y-1) ：1，求u： 最值。
X+ 1
分析： 车的几何意义是圆上一点与定点(一1，一2)连线的
斜率。
解：令A(x，y)、B(一1，一2)，点A在圆x +(y—1)‘1上运动，
所以易得k 的最值在切线上的位置取得。
设过点B的直线l的方程％Jy+2=k (x+1)，
目[1ka~x-y+ka,-2=0,_l， 解得kas= 4
，
、／k B+(一1)
．
·
．u的最小值为 ，无 大值。
3
三、u=(x-a) (y-b J‘型(距离型J
求解思路类似于u：y-b型
，将x-a) +(y-b) 看作动点
P(X，Y)与定点Q(a，b)的距离的平方型。
例3．若实数x，y满足方程x‘+y +8x一8y+16=0，求u=x +y 的
最小值。
解析：由x +y +8x一8y+16=0~ ：(x+4) +(y一4)‘=16。
i．已知圆C(一4，4) ．1OCI=4、 ，
圆上的点到原点的距离的最大值为IOCI+r，最小值为
lOCI一4，这里r为圆的半径。
． ．U
rn ．
= lOCI+r=(4、／2+4)一。
Umi．=lOCI—r==(4、／2—4)一=48-32x／2。
ii．用参数方程求解
令x=4cosO～4，y=4sinO+4
．
·
．
x +y ：16cos20
— 32COS0+16+16sin20+32sin0+16
： 48+32(sinO-cosO)：48+32N／2 sin(0一一,rr)≥48—32、／ ，
4
．
_
．u：x +v 的最大值为48—32、／2。
综上所述，与圆上的点有关的最值问题是圆中的重要题
型，其解法常是用观察所给式子的几何意义充分利用圆的性
质，有数形结合来解决。有些题型选用的参数方程解题更方便。
此外，在线性规划学习中，也有类似最值问题。
参考文献：
[1]全国高考命题研究组．2002-2006年高考试题汇编『M1
北京：西藏人民出版社．2006．
[2]金鼎教育研究中心．调研卷高考快递[M]．郑州：大众文
艺出版社．2007．
[3]张晓斌．2005年普通高校招生重庆数学试卷分析[J]．数
学教学通讯，2005，(9)．
[4]华东师范大学数学系．数学分析(上册)[M]．北京：高等
教育出版社．2003．
[5]蔡上跃．数学(选修3)[M]．北京：人民教育出版社，2003．
[6]中学数学教学参考fJ]．陕西师范大学出版社，2007．3．
[7]李维华．中学数学教学[J]．人大复印报刊资料，1995．3．
[8]北京联合大学数学教研室．高等数学学习指导『M1．清
华大学出版社，2005．9．
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