口算的本真意义(转) - 远航的日志 - 网易博客

口算的本真意义
1992年颁布的《小学数学教学大纲（试用）》提出：“培养学生的计算能力，要重视基本的口算训练。口算既是笔算、估算和简便计算的基础，也是计算能力的重要组成部分。要引导学生在理解的基础上掌握基本的口算方法，坚持经常练习，逐步达到熟练。”2000年《小学数学教学大纲（试用修订本）》提出：“重视口算，加强估算，淡化笔算。”2001年《义务教育数学课程标准（实验稿）》提出：“重视口算，加强估算，提倡算法多样化，以及理解运算的实际意义。”从小学课程目标的历史沿革可以看到，一直以来口算教学是我们越来越关注的焦点内容。这种被普遍关注的状况，一方面反映出它在数学教育、及教育者心目中的重要地位，另一方面，它又似乎在人们的泛用中成了教学日常用语中含义不言自明、也无需考究的“常识”。口算是什么？好像很清楚，又觉得不大清楚。在这样清楚与不大清楚之间的徘徊，小学数学教育工作者慢慢对口算的本真意义在教学中应用产生了异化年的小学数学教育专业杂志进行资料整理，发现对该问题讨论的论文非常少，对其专业化、系统化阐述的几乎没有。我们呼吁数学教育工作者共同参与讨论。我们将系统整理小学数学教育的专业书籍，并结合国外的一些研究成果。对口算的本真意义作一些粗浅的讨论。
为了清楚地说明问题，在此举二则案例。请读者思考，口算的源头是什么？口算的数学基础是什么？口算的思考（解题）策略是什么？口算的心理机制是什么？
〖案例1〗台湾一位小学教师对自己亲身体验的一段口述
“记得二年前，我的女儿幼稚园大班，我儿子小学三年级，有一天带他们两人去吃每客199元的比萨。付账时，我问儿子和女儿：妈妈一共要付多少元啊？儿子嘴巴喃喃念着：三九，二十七进二，三九，二十七进二，女儿却低头着数着手指头，一会儿，儿子喊着：妈妈！你有没有纸和笔，我需要纸和笔来写‘进位’，否则会忘。儿子还未算出。女儿却小声地告诉我：妈妈！你蹲下来一点，我告诉你，我知道要付多少钱了。
哦！真的，要付多少钱？
你拿600元给柜台的阿姨，她会找你3元。
付完钱后，牵着女儿的手走向店外，再问：小妹！你怎么知道给阿姨600元，还会找3元呢？
我用数的啊！199再过去就是200、400、600，三个人共要给600元，但是阿姨一定要再找3元给我们才可以，她多拿了3元嘛！”
〖案例2〗小学二年级学生口算352+149的描述与笔算解题
口算描述
“学生1：300加100，是400； 50和40，是90；再是9加上2是11；然后400加90是490，490加11是501；所以总共是501。
学生2：350加上140一共是490，再加上2加9的11，总共是……总共是501。”
而如果采用笔算解题，则有如下的列坚式计算：
3 5 2
+  1 4 9
1 1
5 0 1
其计算法则为：相同数位对齐，从个位加起，满十向前一位进一。
读了这二则案例后，我想大多数读者都会有所感想。我们对口算本真意义的探讨主要建立在与估算、笔算的对比分析上。为了避免误解，在这里先对三个数学术语作一下说明。这里“口算”主要指不借助任何计算工具，直接通过思维活动计算出结果的计算方法，又称心算。“估算”也叫做概算。一般认为，估算是人们运用各种运算技巧根据实际情况和有关知识进行快速近似的计算。估算可以看作是不需要进行精确计算的口算。“笔算”主要指小学生在学校学习算术运算所接受的程式化算法，简单说就是用坚式进行计算。
1．口算的起源。
在“关于数学（和数学教育）的人类文化学研究”中，提出数学是多元化数学文化。学校数学和日常数学都是数学存在的形式。具体在算术运算上，同样存在不同的算术体系。巴西学者的以下发现就引起了人们的普遍重视，即来自贫困家庭的巴西儿童在数学上具有两种截然不同的表现：他们有课后通常从事街头的叫卖工作，并在这种交易活动中表现出了熟练的计算能力；然而，同样是这些学生，他们在学校中的数学学习却往往只是失败的记录。考察表明：当作为街头小贩时，他们运用口算进行计算；而作为学校学生时，则使用纸和笔进行解题，即采用笔算。从而，我们可以客观的追随到，口算来源于人们的现实生活。案例1能有力说明这一观点。口算是与各种具体情景直接相联系的；是与个体的生活经验直接相联系的。这两方面的保障，确保口算内容的教学有效性。即口算能被个体所理解、口算对个体是有意义的。同时，我们是否要提醒自己，口算这种起源于“日常数学”的‘自发的’数学能力在进入学校以后被‘所学到的’数学能力所异化。笔者在整理案例2时，就碰到这一问题，在下面将作具体说明。
2．口算的数学基础
一种文化的发展的强弱，我们通常要看这种文化是否有扎实的基础。口算的发展同样显示其意义。口算发源于“日常数学”后，它融合了数学的特征与数学教育的规律。口算的最一般基础是数意义上的“凑整”。在此基础上，其加、减运算建立在结合率基础上，乘、除运算建立在分配率及分解因数基础上。例如：7×5220。做法分步是：第一步是将某个因数转换成两个数的和或差；第二步再用分配律来计算答案；第三步算出结果。小学生头脑中会想“7乘以5000，加上7乘以200，再加7乘以20，就可以得到结果。”其实，笔算也呈现相同的数学基础。但它们事实上有着质的差别，从高位算起与低位算起是其中最大的区别。
3．口算的思考（解题）策略
从案例2可以看出，口算的解题策略为：十就是十，百就是百，即口算保持相对应的数字和数位本身的意义，例如，352中数字“3”表示300，数字“5”表示50；而在笔算中，不考虑数字所在数位的意义，只是将数字作为最小单位进行计算，如352中的数字“5”在竖式计算中只是作为5计算，而不考虑它所代表的是50还是500，同样地，表达进位的1是相同的，而不管它进的是10还是100。
我们从更一般的思考策略分析，有更广泛的内涵。Hope和Sherrill（1987）对小学生用什么策略来解决一般乘除口算问题进行了研究。发现小学生们解题过程中采用了四种主要的策略：第一个策略是“类似笔算的口算”；第二个策略是“运用分配律”；第三个策略是“分解因数”；第四个策略是“直接提取”。我们认为，对于口算过程大致有以下几个阶段：第一，数据的简化（reformulation）。即如将83－26简化成86－26或86－26或80－26等形式。简化的前提是数据上“凑合”，以日常基本口算作为基础在头脑中作快速搜索整合。第二，变换（translation）。这即是指对问题结构进行变形以便于运作。如将83－26变换成[（83＋3）－3]－26，再转变成86－26－3。第三，对所得的结果进行调整（compensation）。如案例2学生1描述的最后步，400加90是490，490加11是501；所以总共是501。当然，上述的三个步骤并不是给定策略的机械应用，分步分析只是可以发现解题策略内在的成份。其实在具体应用中通常是一气呵成的。
我们在具体思考解题策略时，发现口算过程经常受几个具体因素所左右。①口算内容的数字；②数的分解与重组；③已知事实的应用；④改变运算的次序。等等。口算思考策略的实际使用显然又依赖于对相关概念和事实的深刻理解与很好把握，从而才有可能灵活地、创造性地对此加以应用。正因为此，口算被称为建立在意义基础上（Meaning-based），而笔算则被称为以规则为基础(Rule-based)。
4．口算的心理机制
口算往往在心里进行计算（因此也称为心算），每一步计算结果储存在大脑中。因此口算在心理机制上，一方面要关注思考（解题）策略的灵活应用，另一方面我们更关注口算依赖于记忆。前一内容以作了分析，我们不再累赘，下面着重从认知神经学的角度对后一内容作些分析。
口算被称为建立在意义基础上，主要是依靠心智活动为主的。口算的信息是一系列的“记忆（器）”中进行的。记忆可分为短时记忆和长时记忆。认知神经科学家用短时记忆来描述最终将转变到稳定的长时记忆中的暂时记忆的所有早期阶段。短时记忆主要包括瞬时记忆和工作记忆。认知神经科学家将瞬时记忆看作剪贴板，信息只是在这里简单地存放一下，直到我们决定了如何处理它为主。与口算心理机制相关的是工作记忆。
工作记忆是第二个暂时记忆。认知神经科学家用工作台来表示工作记忆，在这个工作台上我们可以构建，也可以分解和重新处理各种想法，以便最终将其存储在其他什么地方。当工作记忆加工某些信息时，常常需要我们集中注意力。这些优势并不能说明工作记忆与口算心理机制的相关性，而与之相关的恰巧是它的处理信息能力的有限性。这不仅是指它保持信息的时间不长，而且更主要的是，它在某一时刻里所能容纳的信息量相当有限。
我们可以测试下这个观点。准备好纸和笔。凝视下面的数字7秒。然后，将视线移开。把它们写下来。现在开始：
9217053
检查一下你写对了。用同样的方法再试一试，凝视下面的数字7秒。移开视线。把它们记录下来。准备好了吗？现在开始：
4915082637
再检查一下写下的数字，你完全按照正确顺序把十个数字写出来了吗？
当然，迄今为止科学技术还无能力确切地知道一个人的工作记忆能同时放置多少信息。Miller(1956)提出一个假说：青春期前少年可以处理7±2个“单位”，平均是5个“单位”。这在口算研究中称为“数字广度”。如果工作记忆中当前的信息是“满” 的，而又需要有新的信息参与处理，那么，新信息将“冲”掉旧信息，旧信息将会“溢出”而被暂时遗忘。真正在头脑中计算时，还要引进一种所谓的“组块”。如上面10位数字，有些人确实可以按顺序正确地记住，他们的生活经验帮助他们将号码分成区号、前缀和扩展。这样他们看到的将是另一串数字。他们会把4915082637，看成（491）508-2637，分成三个组块，而不是10个。
在此基础上，我们结合案例2对口算心理过程作具体说明。
学生1的口算心理机制：从高位算起，‘单位’3表示300加上‘单位’1表示100（在工作记忆基础上通过心理意象加工），组合成‘组块’400；‘单位’5表示50加上‘单位’4表示40，组合成‘组块’90；再是‘单位’9表示9加上‘单位’2表示2组合成11；然后‘组块’400加上‘组块’90再组成新的‘组块’490，新‘组块’490加‘组块’11，得出最后结果501。如图1。
3     5     2  ＋  1     4      9=
9
2
50
40
300
100
4009
90
490
11
501
如图 1
基于上述的分析，口算常用于较小数字或相对较整的大数字计算（如1500+1400），在处理复杂大数目运算时就有一定困难。除非是通过特殊训练，否则心算637和829之积几乎不可能。与之相对，笔算作为学校正规教育的一种算法，则是一种程式化的运算。笔算建立在印度-阿拉伯记数体系上，主要形式为列坚式计算， 印度-阿拉伯记数体系被称为是“计算的机器”（Calculating  Machine）,即只要掌握了竖式计算方法，无论数字多么大都可以迎刃而解。从而，笔算是一种“智力放大器”（Cultural  Amplifiers）,大大解放了大脑的记忆负荷
文献参考：
[1]张奠宙等.    数学教育学导论【M】.      北京：高等教育出版社，      2003年.
[2]郑毓信.   数学教育：从理论到实践【M】.      上海：上海教育出版社，      2001年.
[3]孔企平.   小学数学教学的理论与方法【M】.   上海：华东师范大学出版社，  2005年.
[4]郑毓信等.   数学学习心理学的现代研究【M】。   上海：上海教育出版社，  1998年。
[5]〖美〗David  A. Sousa.   脑与学习【M】.    北京：中国轻工业出版社，     2005年.
[6]]吴庆麟等.      认知教学心理学【M】。    上海：上海科学技术出版社，    2001年。
[7]吴晓红等. 口算的本真意义及其在小学数学教学中的异化 【J】。 数学教育学报， 2005（5）。
[8]张奇，林崇德等.    小学生口算能力的发展研究【J】。    心理科学，   2004，27（3）。
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郑毓信.   数学教育：从理论到实践【M】.      上海：上海教育出版社，      2001年.
根据Resnick对——美国儿童口算152+149的描述，作了一定的改动。
采用口头调查研究的方式，对城镇小学（新昌县实验小学、城东小学）、城区小学（新昌县三联小学、大明市小学）、农村小学（长征乡中心小学）的25名学生进行随机调查。有18名学生采用口算笔算化形式，这二种口算描述是从另外7位中选了有代表性的二种。
孔企平.  小学数学教学的理论与方法【M】.    上海：华东师范大学出版社，   2005年.
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