转载 概率统计问题学习的困惑及其处理初探

        在高中数学的教学内容中，概率统计问题是新教材中新开辟的知识领域，在近两年的高考中占有不小的比重。我指导学生在这两年的高考备考中发现，这部分内容以计数问题为特征，其思想方法也较独特，是发展学生抽象和逻辑思维能力的好素材。对学生而言，这部分内容较为独立，与以往的数学基础的好、差联系相对较小。因此，作为指导高三学生特别是文科生备考的一线教师，能否把这章知识教好，是有效地突破学生已有的思维方式或思维定势，增进学生学习数学的情感，增强学生学好数学的信心，最终在高考中取胜的关键。在此章内容的教学中，辨认出学生知识联系上的缺陷和思维的片面性，进行有针对性地讲授从而提高学生对数学对象理解的真度和深度是很有必要的。鉴于此，我主要谈谈学生在此章学习上的困惑和结合自己的教学实际所做的一些处理尝试，在此抛砖引玉。

（一）困惑及对策  

  困惑一：如何审清题意？

         由于问题陈述中有一定的复杂性，导致学生对题目的理解错误，未能识别题目的基本特征，抓住解决问题的切入点，是学生学习本章内容普遍存在的问题。如:

例1   甲、乙两个排球队进行比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6,比赛采用五局三胜制.（1）在前两局中乙队以2:0领先的条件下,求甲、乙各自获胜的概率；（2）求甲队获胜的概率。

    第一问中前两局乙队以2：0领先，误认为前两局乙胜的概率为0.42而错解为甲获胜的概率为0.42×0.63.

对策: 在求对立事件、互斥事件、独立事件的概率审题时应重视：

（1） 简化意识：如第（1）问求乙胜的概率时，考虑到无平局的情况，利用了“甲胜与乙胜为对立事件”使问题简化；

（2） 转化意识：如第（2）问将“甲胜”转化为甲胜乙的比为3：0，3：1或3：2，注意每种情况下最后一局应甲胜而结束，进而再利用独立事件或互斥事件概率公式计算；

（3） 归纳意识：善于归纳解题方法，求较复杂概率问题时，通常有两种方法，一是求此事件的对立事件的概率，二是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，再利用概率加法公式求其值。

困惑二 怎样正确理解求等可能性事件概率的“等可能性”？

  学生无法正确理解等可能性事件的概率的意义，加上排列组合知识迁移比较困难，造成困惑。如：

例2   已知集合A={-3，-6，-4，-2，0，1，3，5，7}，在平面直角坐标系中，点（x，y）的坐标x∈A，y∈A，且x≠y. 计算：（1）点（x，y）正好在第二象限的概率；（2）点（x，y）不在x轴上的概率。

例3   (04年全国卷Ⅱ) 已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A,B两组,每组4支.求(1)A,B两组中有一组恰有两支弱队的概率;(2)A组中至少有两支弱队的概率.

我在给学生分析此题第(1)问P= 时,部分学生对要不要乘2表示疑惑,争论不休,不少学生将排列组合中的”平均分堆”的想法带入到本题的解法中,从而将问题复杂化.

对策: (1)学会将此类问题归结于等可能事件的概率问题;

     (2)学会从不同的背景材料中抽象出两个问题: (Ⅰ)一个基本事件所对应的具体的意义;(Ⅱ)弄清所有基本事件的个数n和事件A包含的基本事件的个数m,从而P=n/m .

    困惑三:  怎样发现相似问题的不同之处?

1.  有放回与不放回抽样问题

例4  若某批产品中有m件次品，n件正品,(1)采取不放回抽样方式;(2)采取有放回抽样方式,从中抽取t件产品(t≤m+n).问正好有k件次品的概率分别是多少?

解:(1)从m+n件产品中取出t件产品的所以基本事件的个数为 ,恰有k件次品对应事件个数为 ,由等可能性事件概率公式有

  (2)有放回抽样时,每件次品被抽到的概率均为 ,抽到的次品数为独立重复试验事件.由其概率公式,得所求概率为

对策：指导学生不仅要抓住区别两种抽样的关键特征:每件产品每次被抽到的概率,对不放回抽样方式是不等的,对有放回抽样方式是相等的,而且懂得如何正确判断出所求事件的概率属于等可能事件、独立重复试验、互斥事件发生一个的概率的哪种类型，又能准确综合运用上述三种概率的求法。

    2．如何确定随机变量服从二项分布或几何分布？

例5  某植物种子在一定条件下发芽成功的概率为1/2，一研究小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），若一次实验种子发芽成功就停止实验，否则将继续下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求此组所做种子发芽实验次数ξ的概率分布列和期望。

 学生在刚做此题时，往往认为ξ服从几何分布，因而P（ξ=5）=1/25 .

造成错误的原因是未能掌握几何分布中,实验次数n的取值为1,2,3…与此题的不超过5次是有不同的.故此题中ξ看似服从几何分布,但实际上是有区别的.

例6 从分别写有1,2,3,4,5,6,7,8,9的九张卡片中,任意抽取两张,当两张卡片上的数字之和能被3整除时,就说这次试验成功.求在15次试验中成功次数ξ的数学期望.

由于此题综合了求等可能性事件概率和发现ξ——B（n，p），Eξ=np来解，不少学生做此题时未能及时发现二项分布造成解题烦琐。

对策：（1）让学生深刻理解服从二项分布、几何分布的随机变量的特征，实行“对号入座”；

     （2）进行适度地训练，巩固和加强记忆。

 （二）备考启示

1．注意理论联系实际，培养学生数学应用意识

学数学的出发点和归宿是用数学。联系实际是本章的一个显著特点。大量的与“概率与统计”有关的实际问题，包括射击、产品检验、机器无故障运行、抛掷硬币、投篮、学生成绩、学生游戏等引进试题中。所以使学生以数学的眼光来观察所处的客观世界，逐步养成借助数学的思想、观点、方法来思考研究问题、解决问题，培养学生用数学的意识对教好本章非常必要的。

2．深入浅出地分析，重符合学生思路的问题解决

在学生有困惑的教学情境中，帮助学生想通道理，以便突破疑难点是十分重要的。但学生思考问题的角度与教师常常是不一致的，学生的难点与老师假想学生的难点不一定相吻合。因此，教师最重要的任务并非是向学生阐述自己对问题的理解，而是如何根据学生思维的具体状况和原有思路，有针对性地去解，启发学生分析其惑的原因何在，引导学生寻找解决的办法，帮助学生突破认知上的“瓶颈”。

3．突出基本内容和方法，加强基础训练，重在解题方向和解题策略的引导

重点让学生掌握等可能性事件、互斥事件、独立重复试验概率及离散型随机变量的期望和方差的计算，立足基础知识和基本方法，恰当选取典型例题，造就思维依托和合理的思维定势，运用变式题目，将常规题向典型问题转化，查找思维缺陷，提高分析、解决问题的能力。

4．巩固加强前后知识的联系，突破概率综合问题

本章知识与排列组合、数列、方程、不等式等都可联系，教学时应注意前后知识的结合，成为一个有机的整体，从而提高教学效率。如2005年广东省高考第18题为概率统计与数列相结合。只有重视本章知识与其它知识的联系，提高学生综合运用知识的能力，才有可能有所突破。

总之，概率与统计是新大纲增加的内容，是高等数学相关知识的基础。我认为本章是高考中文科生的主要得分点之一，能很好地发展学生的数学思维能力和加强学生应用数学知识的能力。