重视学生的思维错误，有效地提高教学质量

重视学生解题错误，提高数学教学效益

江苏省南通师范学校  （226006）  徐汝成

摘  要：学生的解题错误具有独特的教学意义，它不仅能提供各种学习途径，还可以反馈教学信息，有效地调整教师的教学行为。教学中教师应该准确诊断学生的解题错误，并针对具体情况即时灵活地采取针对性措施进行处理，从而有效地提高教学效益。

关键词：解题错误，数学教学

在数学教学中我们常常碰到学生犯这样那样的错误，如何对待这些错误？研究和实践表明，高度地重视它，并采取积极有效的措施解决它，可以化不利因素为有利因素，有效地提高教学效益。

1．学生解题错误的教学意义

日常教学中，对于学生的解题错误，常常出现以下几种不当的处理方式：

敷衍型。在课堂教学中，面对学生的错误，教师不去深入地分析其原因、认真地处理它，而是采取敷衍的态度应付它。如教师常常用这样一句话，即“由于时间关系（其实不一定没有时间）这个问题（实指错误）留给大家课后思考”，从而把教学引入到下一个环节。此时教师全然不顾该问题是否可以当场解决，是否应该当场解决，而课后对该问题也不作深入的讨论，有时只是简单地给一个结果，有时甚至不再过问。这样的教学，表面上保持了教学的流畅性，实际上放弃了良好的甚至是关键的教学机会。

简单型。即对学生的错误采取简单的处理方式，如只是简单地断定其错误并直接给出正确的结果，既不发动学生思考，也不深入剖析错误的原因，形式上纠正了学生的错误，其实际效果甚微。

不问型。如学生考试中发生的错误，只是打一个对错，评讲试卷也只是统一给出正确答案，而对于那些错误则不闻不问，这就是不闻不问型。

以上一些情况或多或少地反映在我们的日常教学中，其共同特点是，对于学生的错误未予足够的重视，这往往使我们错过良好的教学机会，实际上学生的错误具有独特的教学意义。

1.1 提供学习途径，完善认知结构

学生的错误是教师教学的有效材料，教师可以通过对错误的讨论分析、纠正，让学生充分认识自己的思维错误，确立更为牢固的正确观念，完善已有的认知结构。

1.2 反馈教学信息，调整教学策略

学生的错误从一定程度上反映了学生的学习状况，相应地也反映了教师的教学情况，教师则可以通过对这些反馈信息的反思，找出教学中的不足，及时予以补救，并调整今后的教学策略，避免类似错误重复。

1.3 引导探究学习，培养探索精神

一些隐蔽性很强的错误，其解决需要一定时间和较强的思维能力，教师则可以引导学生对其进行探究，探究性学习活动不仅能够纠正错误，且通过探究活动纠正的错误留给他们更深的印象，更重要的是这种活动能培养他们的探索精神。

1.4 引发研究课题，拓展学习空间

学生的有些错误可以引发重要的研究课题，而这些课题的研究则可以超越问题的本身，从而大大拓展学生的学习空间。

例1：求经过点P（2，―1），且与点A（―3，―1）和点B（7，―3）距离相等的直线方程。^⑴

解（学生板演）：设所求直线方程为：y+1=k(x―2)，即kx―y―2k―1=0

由题意得  |―3k+1―2k―1|= |7k+3―2k－1|

       即   |5k|=|5k+2|

故有  5k=－5k―2  ①  或 5k=5k+2  ②

由①得k=―1/10        ②式k不存在

∴所求直线方程为y+1=―1/10(x―2) 或x=2。

在此我们特别提及该生的解题过程，他开始得出一个解，后来看到练习册后面的参考答案是两解，方把另一个解补上，他也为自已补上这一解找到了一个理由，即“k不存在”。学生解该题的一般错误都是漏解，故当时我的第一反映就是该解错误，并将正确解答给出（当然师生共同讨论，很容易形成统一认识）。然而仔细想来，为什么这么巧呢？且其它题也有类似的情况，即方程中k不存在，正巧也验证得恰有斜率不存在的直线为其解。这便引发了一个研究课题：此种解法能有合理解释吗？

经过讨论和研究，我们发现该解法具有其合理性，首先我们重新审视一下直线斜率的定义，我们可以将斜率不存在定义为斜率存在，但这个存在是在有限概念之外，即包括无限，我们可以将直线垂直于x轴的直线的斜率定义为无穷大，方程②：5k=5k+2，在无限概念下有解，该根为无穷大，而k取无穷大时，意味着直线垂直于x轴，故有解x=2。

当然学生的上述解答是错误的，它的错误是混淆了两个“不存在”之间的区别，仍需纠正。

通过上述讨论，学生的知识和思维都得到了升华，其载体是学生引发的研究课题。

2. 学生解题错误的教学处理

2.1 准确诊断学生的解题错误

准确诊断错误是正确处理错误的前提。诊断错误主要是确定错误的类型和原因，以错误的原因为标准可以将学生的错误作如下分类（如图1）

                           （图1）

由于认知因素而导致的错误我们称之为认知型错误，因为情感因素（如粗心大意）而导致的错误称之为情感型错误；当错误反映的是学生的真实思想（即脑子里确实是这样想的）则称为实质型错误，如果脑子里想的是正确的而只是表达方式出现错误，称之为表达型错误，如a不等于b且不等于c，表达成a≠b≠c，这种表达内涵模糊，不能正确反映其真实思想即是表达型错误；实质型错误又可以分为知识型错误和方法型错误两类，知识型错误是指运用知识有误而导致的错误，而方法型错误则是指思维的方法有误而导致错误。

上述分类尽管有许多值得商榷之处，然而由于其分类标准即是犯错之原因，故据此分析学生的错误，实际上是将错误进行准确的定位，即找到了其错误的实质性原因，故有利于对错误的正确处理。即据此分类分析更易找到处理问题有效的方法和策略。

例2：已知3sinβ=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tanα。

解（学生）：3sinβ=sin(2α+β)

            3sinβ=sin2αcosβ+cos2αsinβ

            3sinβ=2sinαcosαcosβ+(2cos²α－1)sinβ

            4sinβ=2cosα(sinαcosβ+cosαsinβ)

                 =sin(α+β)（解题到此为止）  ^⑵

分析上述学生的解题过程，不难发现，该生（很多学生都反映出类似的情况）最大问题是思维方法错误，即在进行每一步运算时，心中没有明确而正确的目标（盲目），从而导致解题失败，故我们称之为方法型错误。有了上述准确的认识，不难找到解决问题的具体策略，那就是加强对学生解题中目标意识的培养。

2.2 灵活处理学生的解题错误

学生的错误是多种多样的，因此处理的方式也应该是灵活多样的。任何一个错误都有错误的时间、错误的主体、错误的原因，在处理错误的时候首先必分清错误的类型，找到错误的原因，同时还应考虑时间、主体等相关因素来确定处理的方式。然而，不管采取什么样的方法和手段，都必须遵循以下几条原则：

2.2.1 即时性原则

即时性原则，即就是发现错误及时处理、不拖延。及时处理学生的错误，便于学生及时地认识、改正错误，且由于其即时性，容易给学生留下深刻记忆，而且即时处理还比事后处理节约时间，能提高教学效率。当然这里的即时性不是绝对意义下的时间性，而是相对意义下的时间，如当学生在课堂上出现某个错误，鉴于时间的限制，或问题的难度，或培养学生自主学习的需要，可能延迟到课后解决，这仍然属于即时处理。

2.2.2 针对性原则

任何一个错误都有错误的主体（犯错的人）、错误的时间、错误的类型（什么样的错误），故在处理错误时应充分考虑这三个因素，拿出有针对性措施。如同一个形式的错误反映在不同的学生身上，就可能有不同的原因，我们就应采取不同的处理策略，这就是针对性原则。解不等式（组）中学生常常将逻辑连结词“或”和“且”用混淆，有的是因为未能正理解这两个概念的含义而造成错误，有的则是由于粗心大意所造成的错误，对于前者教师必须详细地启发讲解，对于后者教师只需点拨启发并提出做题时应具有的情商即可。

2.2.3 灵活性原则

即根据错误的特点，灵活选用处理方法，而不拘泥于一种形式。如错误带有一定的普遍性则可以采取集体订正的方式，如错误是一种顽症，则可以通过研究性学习的方式来解决，如一个错误隐蔽性很强且具有一定的启发性，则可以通过延时处理的方式进行。如果不管什么问题都采取同一种方式处理（老师喜欢或习惯用讲解式）则会失去针对性，自然也会降低问题处理的效果。尤其要指出的是，如果一些错误学生可以通过自己的思考得到纠正，则老师决不要包办代替，而要让学生自己去思考解决。

2.2.4 发展性原则

即不是就事论事，而是用发展的眼光，通过处理一个错误，使学生获得对一类问题的深刻认识，或通过处理个别（少数）学生的错误，使所有的学生都从中获得启发。

例3：学生为区别同一平面直角坐标系中的两条不同直线，就在所求两直线方程的变量上分别加上脚码，如L₁：x₁+y₁―1=0，L₂：2x₂+3y₂+2=0。

对于学生的这个错误，我们就不能仅仅简单地告诉学生不需要加脚码即完，而要深入地分析学生思维错误的深层次原因，通过这一个问题看到学生思维的其他类似问题，通过一个学生错误的处理使大多数学生都受到有益的启示。

实际上该错误反映了学生思维的形式化，即未能真正理解方程表示曲线的本质，方程实际上反映了直线上点的横坐标与纵坐标两个量之间的一种内在制约关系，这种关系的不同决定了其所表达的直线的不同。这种形式化思维在其它一些地方也经常发生，如在学习反函数时，很多同学对于求反函数后要将x、y对调的理解往往是停留在表面上的，解题乃是模仿性的（书上或老师这样做也就这样练习），而对于交换x、y后其集合与集合之间的映射关系并没有改变没有实质性的理解。故我们认为，实际上是学生错误即是用静止的、孤立、不变的观点看问题，缺乏应有的运动观、辩证观。而这种观点的转变是相当困难的，恩格斯把笛卡尔的变量进入数学看作是数学发展史上的转折点就说明了这一点。可以说运动的观点、辨证的观点对所有同学来说都是一个需要长期培养的问题。据此，我们没有简单地将学生的错误纠正过来，而是发动所有的同学进行讨论，寻找问题的根源，并讨论问题的范围进行适度扩大，将反函数中的问题拿出，让学生进行辨别，通过讨论交流、辨别了错误，通过讨论同学们的思维获得了提升，通过讨论所有的同学都获得了教益。

参考文献：

⑴高中数学课课练（二年级上学期）. 江苏教育出版社. 2001，6  P58。

⑵徐汝成 . 目标意识在解题中的作用[J] . 中学数学教学参考. 2001，⑼:30。