综合题用画精确图形来寻找解题途径

例题1、如图1，已知边长为的等边，点在边上，，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，
（1）写出图1中与相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）若，试求的面积。
（2008年闸北区初三数学中考模拟试题第25题）
此题在第一、二小题时学生还是能顺利完成，但是在第三题的过程中遇到了问题，而由于第三题的困难使很多同学放弃了第四题，那么我们来看一下，我们在第三题未能有效突破的情况下是否能对第四题有一个突破呢。
这是一个可以精确的画出图形的问题：等边三角形的边长为3（图形是确定的），CF=1，AE=1（点F、E是确定点），三角形EFG是边长为EF的等边三角形（点G也可以确定），所以这完全是能用画图工具精确画出的图形。我们根据条件将图形精确的画出：
（这里图（2）中等边EFG虽然G点位置不能确定，但是可以根据EF已知，EFG是等边三角形，运用尺规作图方法可以确定EFG的位置。尺规作图知识点在中考中不是经常出现，但是用尺规作图方法来解题，却是数学解题中经常出现的思路）。通过画精确的图形我们发现图（1）当E在边AB上时，观察得到EF//AC，EG//BC，FG//AB。图（2）当E在BA的延长线上时，观察得到FG⊥CM。那么现在我们不再由于第三小题的问题无法解决而致使第四题的解题无方向。通过观察图形得出的结论，现在做的只要进行适当的证明：如图（1）BE=2，BF=2，是等边三角形EF//AC，结论成立。所以。如图（2）EF=FN=NG=MN=MA=2AE=1，结论成立。所以。
这里我们跳过了第三题利用已知条件画出精确图形而解出第四题。通过上面例题可以知道，当给出的图形是一个确定的图形，而给出的条件也是确定的即这个图形可以运用我们手上的画图工具精确的画出图形，然后通过观察图形得到图形的特点，最后再证明我们观察到的结论，这样可以避免我们在不清楚某些条件的情况下，找到一个明确的解题方向。
初中数学是由形象向抽象过渡的关键时期，而我们在不知不觉中渗透了考虑问题的抽象思维的同时，反而将其形象的一面忽略。又由于我们日常过于注重数学解题理论，而忽略了学生的动手能力，造成了学生解题思路的单一性。作为数学教师在教会学生基本知识的同时，更希望能够培养学生的创造性，任何一种解题思想都不是万能的，希望通过数学思想的培养，掌握处理问题的不同方法。
例题2、已知：，点在射线上，（如图1）。为直线上一动点，以为边作等边三角形（点按顺时针排列），是的外心。
（1）当点在射线上运动时，求证：点在的平分线上；
（2）当点在射线上运动（点与点不重合）时，与交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点在射线上，AD=2，圆为的内切圆。当的边或与圆相切时，请直接写出点与点的距离。
（2007年上海市中考数学试题第25题）
这里学生在解第二小题时同样感觉到了困难，所以很多同学放弃了第三小题的探索，通过分析我们发现过B点关于圆I的切线只有BA与BD，所以若BP或BQ与圆I相切，那么点P或Q只能在直线BA或BD上，而点P在直线AN上，为等边三角形，所以根据条件我们还是可以画出精确的图形：
（1）若BP是圆I的切线，又点P在BD或BA上，所以点P存在两种可能性
（ⅰ）点P在BD上，如图（1）

（这里图（1）中等边虽然Q点位置不明确，但是已知BP，BPQ为等边三角形，运用尺规作图可以确定点Q的位置）。通过画精确的图形我们观察图（1）中得到AO//DQ且AO=DQ，下面进行验证：连接OQ=AO//DQ，AD//OQ四边形AOQD是平行四边形AO=DQ=BD=
（ⅱ）点P在BA上，如图（2）


同样通过精确作图，可以得到点Q在AN上，点O在BD上，通过证明结论是正确的，此时AO=。
（2）若BQ是圆I的切线，又点Q在BD或BA上，所以Q又有两种可能性
（ⅰ）Ｑ在BD上，如图（3）

（这里的作图比较困难一些，但是BPQ为等边三角形，且P在AN上，所以我们可以通过量角器可以作出点P，再用尺规作图得到点Q）同样通过精确作图，可以得到点O与点A重合，通过证明结论是正确的，此时AO=0。
（ⅱ）Q在BA上，通过作图，发现不满足条件，所以此种情况不存在。
综上所述AO=，AO=，AO=0。
画出几何图形是初中数学教学中的一个知识点，但是很多学生认识不到不到这个知识点在数学学习中的作用，加上日常教学中，有的老师不是很重视画图，导致有些学生不能迅速、准确的根据条件画出精确的图形。从以上可以看出，根据条件能准确画出图形也是我们数学解题的思路之一。
http://sh.zhongkao.com/e/20100625/4c241a18a7536.shtml