画五角星

来源:百度文库 编辑:神马文学网 时间:2024/03/29 18:05:04
读小学时,老师布置作业,要我们画五角星,我回家后问老爸该怎么画。老爸说,他读中学时老师教过,于是便拿出圆规和尺自顾自在纸上比划起来。没过多久,老爸兴奋地叫我过去,把画五角星的方法教给我,并让我重复了几遍,确信不会忘了才罢休。
第二天上算术课,老师问我们,五角星会画了吗?我把小手举得高高的,结果被老师叫到黑板前让我画给同学看。我按照老爸教的方法画好后,老师说,你这是碰巧了吧?你这样怎么能画得准确呢?应该要用量角器量出角度才能画得对!
我委屈得直想哭,回家后直埋怨老爸。
老爸显然有点生气了,说了句“连五角星都不会画,这老师数学水平太差”,就回到他的书桌旁去了。
过了一会儿,老爸递给我一张写了好多公式的纸,说道:“这是证明,你明天拿给老师去看去。”
我哪敢呀。
但这五角星的画法我却牢牢记住了,就像我老爸那样。
现在上了大学,我知道了,其实五角星还有好几种画法,老爸教的,是已知外接圆直径时的画法,最简单的一种。此外,已知五角星的宽度画五角星也很方便的,后来又看到了已知边长画正五边形的方法。
后来还知道了,已经证明,可以用尺和圆规,经过有限步骤,画出如下正P边形,如果P是2的幂次方,或者是个费马素数,或者是不同费马素数及其与2的幂的乘积。
五角星画法
方法一
画一圆,过圆心O画一条(水平)直线与圆相交于A,过圆心O画一条与OA向垂直的直线与圆相交于B,用圆规和直尺找出线段OA的中点C(可别说这也不会哦),以C点为圆心,线段BC的长度为半径画圆弧与OA的延长线在圆内相交于D,则线段BD的长度就是该圆内接正五边形的边长。
设圆的半径为1,得,BD=sqrt((5-sqrt(5))/2).
方法二
画一(水平)直线AB,用圆规和直尺找出线段AB的中点C,过B点作一垂线,以B点为圆心,线段BC的长度为半径画圆弧与该垂线相交于D,以D点为圆心,线段BD的长度为半径画圆弧与线段AD相交于E,过C点画一条与线段AB相垂直的直线,以A点为圆心,线段AE的长度为半径画圆弧与该垂线相交于F,则线段AF就是该正五边形的一条边长,线段AF与AB之间的夹角为36度。
设线段AB的长度为1,得,AF=sqrt(5)/2-1,线段AF与AB之间的夹角a = arccos(1/(sqrt(5)-1)).
以A点为圆心,线段AB的长度为半径画圆弧,以B点为圆心,线段BF的长度为半径画圆弧,两圆弧相交于G;以B点为圆心,线段AB的长度为半径画圆弧,以A点为圆心,线段AF的长度为半径画圆弧,两圆弧相交于H,则A、F、B、G、H分别为五角星的5个顶点。
方法三
画一(水平)直线AB,用圆规和直尺找出线段AB的中点C,过B点作一垂线,以B点为圆心,线段BC的长度为半径画圆弧与该垂线相交于D,以D点为圆心,线段BD的长度为半径画一圆,从A点出发画一过圆心D的直线并继续延伸至与圆弧相交于E,分别以A和B为圆心,以线段AE的长度为半径画两圆弧相交于F,分别以A和F为圆心,以线段AB的长度为半径画两圆弧在外侧相交于G,,分别以B和F为圆心,以线段AB的长度为半径画两圆弧在外侧相交于H,则A、B、H、F、G分别为五角星的5个顶点,线段AF与CF之间的夹角为18度。
设线段AB的长度为1,得,AF=(sqrt(5)+1)/2,线段AF与CF之间的夹角 b=a/2=arcsin(1/(sqrt(5)+1)).