第4讲 数的整除性(一)

来源:百度文库 编辑:神马文学网 时间:2024/03/29 22:38:39
第4讲 数的整除性(一)

  我们在三年级已经学习了能被2,3,5整除的数的特征,这一讲我们将讨论整除的性质,并讲解能被4,8,9整除的数的特征。

  数的整除具有如下性质:

性质1 如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除。例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如,21与15都能被3整除,那么21+15及21-15都能被3整除。

性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×7=63整除。

  利用上面关于整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性,我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来:

  (1)一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除。

  (2)一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除。

  (3)一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除。

  (4)一个数的末两位数如果能被4(或25)整除,那么这个数就能被4(或25)整除。

  (5)一个数的末三位数如果能被8(或125)整除,那么这个数就能被8(或125)整除。

  (6)一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除。

  其中(1)(2)(3)是三年级学过的内容,(4)(5)(6)是本讲要学习的内容。

  因为100能被4(或25)整除,所以由整除的性质1知,整百的数都能被4(或25)整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和,所以由整除的性质2知,只要这个数的后两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。这就证明了(4)。

  类似地可以证明(5)。

  (6)的正确性,我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

  837=800+30+7

  =8×100+3×10+7

  =8×(99+1)+3×(9+1)+7

  =8×99+8+3×9+3+7

  =(8×99+3×9)+(8+3+7)。

  因为99和9都能被9整除,所以根据整除的性质1和性质2知,(8x99+3x9)能被9整除。再根据整除的性质2,由(8+3+7)能被9整除,就能判断837能被9整除。

  利用(4)(5)(6)还可以求出一个数除以4,8,9的余数:

  (4')一个数除以4的余数,与它的末两位除以4的余数相同。

  (5')一个数除以8的余数,与它的末三位除以8的余数相同。

  (6')一个数除以9的余数,与它的各位数字之和除以9的余数相同。

1 在下面的数中,哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被9整除?

  234,789,7756,8865,3728,8064。

:能被4整除的数有7756,3728,8064;

  能被8整除的数有3728,8064;

  能被9整除的数有234,8865,8064。

2 在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除?

  解:如果56□2能被9整除,那么

  5+6+□+2=13+□

  应能被9整除,所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除;

  如果56□2能被8整除,那么6□2应能被8整除,所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除;

  如果56□2能被4整除,那么□2应能被4整除,所以当十位数是1,3,5,7,9,即四位数是5612,5632,5652,5672,5692时能被4整除。

  到现在为止,我们已经学过能被2,3,5,4,8,9整除的数的特征。根据整除的性质3,我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如,判断一个数能否被6整除,因为6=2×3,2与3互质,所以如果这个数既能被2整除又能被3整除,那么根据整除的性质3,可判定这个数能被6整除。同理,判断一个数能否被12整除,只需判断这个数能否同时被3和4整除;判断一个数能否被72整除,只需判断这个数能否同时被8和9整除;如此等等。

3 从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列。

:因为组成的三位数能同时被2,5整除,所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征,数字和2+7+0与5+7+0都能被3整除,因此所求的这些数为270,570,720,750。

4 五位数能被72整除,问:A与B各代表什么数字?

分析与解:已知能被72整除。因为72=8×9,8和9是互质数,所以既能被8整除,又能被9整除。根据能被8整除的数的特征,要求能被8整除,由此可确定B=6。再根据能被9整除的数的特征,的各位数字之和为

  A+3+2+9+B=A+3-f-2+9+6=A+20,

  因为l≤A≤9,所以21≤A+20≤29。在这个范围内只有27能被9整除,所以A=7。

  解答例4的关键是把72分解成8×9,再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上,应先确定B所代表的数字,因为B代表的数字不受A的取值大小的影响,一旦B代表的数字确定下来,A所代表的数字就容易确定了。

5 六位数是6的倍数,这样的六位数有多少个?

分析与解:因为6=2×3,且2与3互质,所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除,推知A可取0,2,4,6,8这五个值。再由六位数能被3整除,推知

  3+A+B+A+B+A=3+3A+2B

  能被3整除,故2B能被3整除。B可取0,3,6,9这4个值。由于B可以取4个值,A可以取5个值,题目没有要求A≠B,所以符合条件的六位数共有5×4=20(个)。

6 要使六位数能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字?

  分析与解:因为36=4×9,且4与9互质,所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数能被4整除,就要能被4整除,因此C可取1,3,5,7,9。

  要使所得的商最小,就要使这个六位数尽可能小。因此首先是A尽量小,其次是B尽量小,最后是C尽量小。先试取A=0。六位数的各位数字之和为12+B+C。它应能被9整除,因此B+C=6或B+C=15。因为B,C应尽量小,所以B+C=6,而C只能取1,3,5,7,9,所以要使尽可能小,应取B=1,C=5。

  当A=0,B=1,C=5时,六位数能被36整除,而且所得商最小,为150156÷36=4171。

 

 

练习4

  1.6539724能被4,8,9,24,36,72中的哪几个数整除?

  2.个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个?

  3.一些四位数,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样的四位数中,最大的和最小的各是多少?

  4.五位数能被12整除,求这个五位数。

  5.有一个能被24整除的四位数□23□,这个四位数最大是几?最小是几?

  6.从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个,可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数?

  7.在123的左右各添一个数码,使得到的五位数能被72整除。

  8.学校买了72只小足球,发票上的总价有两个数字已经辨认不清,只看到是□67.9□元,你知道每只小足球多少钱吗?