由“将无理数在数轴上表示”引起的思考

由“将无理数在数轴上表示”引起的思考
————质疑“无理数”定义
九 江 六中：余绍群
在人民教育出版社出版的九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第二册中，还有在北师大版的八年级数学课本上，对“无理数”是这样定义的：“这些数的小数位数是无限的，而且是不循环的。这样的小数叫做无限不循环小数，又叫做无理数。”并指出“每个有理数都可以用数轴上的点来表示。但是，数轴上的点并不都表示有理数，每个无理数也都可以用数轴上的点来表示。”并利用勾股定理，运用几何作图的办法在数轴上表示了“ ”这个无理数。同学们可以推广到“ …”也可以在数轴上表示出来。由此可知，所有的二次根式形式的无理数都可以在数轴上表示出来。可是其他形式的无理数呢，比如“ ”又如何在数轴上表示出来呢？课本上没有提及这个问题。每次我上课讲到这里，就对同学们说“你们课后去思考一下， 是否可以在数轴上表示出来。如果可以，又如何表示？”但每次都是石沉大海，从此无影无踪。
其实这个问题一直以来都在我的脑子里盘旋“是否所有的无理数都可以在数轴上表示出来？”
课本上说“每个无理数也都可以用数轴上的点来表示。”“有理数和无理数统称为实数。实数与数轴上的点一一对应。”
但课本上只给出了某些无理数，即二次根式形式的无理数在数轴上的的表示。却在没有给出其他形式的无理数（比如著名的无理数圆周率“ ”）的条件下，却得出“每个无理数也都可以用数轴上的点来表示。”这是真的吗？
于是我展开了如下对无理数的思考：
首先是“ ”：我们知道 可以等于圆的周长除以圆的直径。如果以1为半径画圆，则 = （c为圆的周长），只要测量出圆的周长即可算出 的值。可是我们能准确测量出圆的周长吗？不能，实际测量中抛开物理上的测量误差外，用绳子测量依旧只能得到近似值。或者反过来，以一个已知一个长度的绳子为周长去围一个圆，量出圆的半径，再用 = 即可算出 的值。可是我们如何能准确地围出以那个已知长度为周长的圆呢？似乎也不能。如果这些都不行的话，那就不能得到 的准确值。
退而我又想是否可以在数轴上准确的找到 呢？由 ，得 可以看作是体积为2的正方体的棱长。从理论上我们可以在三维空间直角坐标系中构造一个体积为2的正方体，可是在实际操作中我们又如何去得到这样一个正方体呢？我想可以先构造出一个体积为2的长方体（长、宽、高分别为：1、1、2即可），然后以这个体积的水倒入一个正方体中，如果能恰好装满，则这个正方体的体积就是2，它的边长就是 。可是我们能精确地得到这样的正方体吗？还是也只能得到它的近似值？如果 还可以看作是体积为2的正方体的边长的话，那 …呢，我们又如何去找它们的几何模型呢？
我百思不得其解。我想也许其他的数学老师有答案。可是得到的回答竟然是“你怎么会有这样古怪的问题？”“精确地将它们表示在数轴上有什么实际意义？”“恩，可以表示它的近似值。”
这怎么是“古怪的问题”。我们除了知道二次根式形式的无理数可以在数轴上精确的表示出来，其他的无理数呢？实际上其他形式的无理数中的任何一个，我都不能在数轴上准确地找到与之对应的点。而课本也没有给我们任何提示，那我们凭什么说“每个无理数都可以在数轴上找到与之对应的点”呢？
“精确地将它们表示在数轴上有什么实际意义？”也许它并没有太大的实用价值。据说 的“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。”可是既然是“数” 就存在大小，那无理数也不例外。而实际上，无理数“ ”我们就能确切地知道其大小。而对“ ”的理解，如果将其理解为边长为1的正方形的对角线的长，比将它理解为“1.41421356…”这个“无限不循环小数”似乎更看得见摸的着，也更清楚。即我们对二次根式形式的无理数的理解用几何方法，比用有些虚无缥缈的“无限不循环小数，又叫做无理数。”来理解更清楚。
从理论上来说，其他无理数也有它确切的大小，可是它们到底有多大？ “ ”究竟是多大？如果用近似值来表示了，那么这些无理数就仍然是以“有理数”的形式来认识的，那真正的“无理数”们又是多少？
我不禁对“无理数”产生了怀疑。那些不能准确得知道其大小的无理数真的存在吗？它们真的能在数轴上表示出来吗？
我们还是回到无理数的定义上来。“无限不循环小数又叫做无理数。”这个定义应该是从“有理数”中的“小数”来定义的。现在这个“小数”已经从“有限小数”和“无限循环小数”改变成“无限不循环小数”。这种从已知数出发去定义新的数的做法本来未可厚非，可是无理数既然是“无限”的，又是“不循环”的，那我们又如何确切的识得“无理数”的“庐山真面目”呢？“ ”； “ e”在“无限”远的地方是有限的终结了，还是无限的不循环下去了呢 ？根据“无限不循环小数”的定义，它是有理数呢？还是无理数？
我们教材上的“无理数”的定义是最严谨，最完美无缺的定义吗？我感到困惑！进而产生了怀疑。
于是，我又想到网络，我以为在这浩如烟海的网络世界，一定有令我满意的答案。可是，当我搜索“如何将无理数在数轴上表示出来”时，得到的结果是“没有查到相关的条目”。于是我再进行条件更为宽泛的“无理数”的搜索时，一下子有了几千条目录。可是除了大量的类似“无理数的来历”之类的文章外，并没有什么令人振奋的消息。我在失望之余，又进行反思：难道没有人思考过这个问题吗？不可能！难道这些无理数真的不能在数轴上表示出来吗？如果它们真的不能准确的在数轴上表示出来，那这样的无理数真的存在吗？我在一片迷茫中，再一次对无理数产生了怀疑。
我依然执着地探寻着无理数。
终于我发现了一个后来知道是非常有名的科学网站《三思科学网站》，其中也有关于无理数的文章。我才知道，尽管2500多年前毕达哥拉斯学派成员希巴斯就已经发现了无理数：边长为1的正方形，其对角线不是有理数。但那时只知道它不是有理数，直到二千四百年后才产生了包括无理数在内的实数的严格定义。在这之前，无理数也深深困扰着无数人。比如：16世纪德国数学家施蒂费尔说“当我们想把它们数出来（用十进小数表示）时，…就发现它们无止境地往远处跑，因而没有一个无理数实质上是能被我们准确掌握住的…。而本身缺乏准确性的东西就不能称其为真正的数…。所以，正如无穷大的数并非数一样，无理数也不是真正的数，而是隐藏在一种无穷迷雾后面的东西”
而对于圆周率“ ”这个著名的无理数，人们似乎很少关注其“无理数”的特性，更多的是关注在计算其近似值的问题上。
公元前3世纪时代的古希腊的数学家阿基米得算出 的值在 ～ 之间，取值为3.14，我国古代数学家刘徽计算得 = ， 的值约为3.14159，南北朝时期的大数学家祖冲之算出3.1415926＜ ＜3.1415927，而计算机的出现，似乎可以将“ ”的近似值精确到小数点后的任意位。据说，日本人金田教授与日立制作所的员工合作，耗时四百多小时，计算出圆周率小数点后一兆二千四百一十一亿位数。这似乎可以从中窥探出“ ”这个无理数的“无限”“不循环”的特性。可是，如果我们看到计算“ ”的近似值的公式：
1593年，韦达给出：
沃利斯1650年给出：
1706年，梅钦建立了：
1844年，达塞得出公式：
，……
“ ”值计算公式的不同表达形式，似乎更说明了“ ”这个无理数的不确定性，可是它们近似值的统一又表明“ ”这个无理数的确实存在。
无理数就象一个神秘的女郎，忽隐忽现。
直到19世纪60年代末，出现了几种不同的无理数定义。例如戴德金（Dadekind，1831-1916）这样定义：一个实数定义为有理数的一个集合，这个集合是数轴上所有有理数从某处分开的左边“一半”（数学术语为“分割”），且没有最大的数。
按戴德金的定义，实数集合的每个元是有理数集合的一个子集，一个实数是有理数的一个集合。例如所有小于2的有理数集合确定一个实数，它就是2；所有其平方小于2的有理数集合确定一个实数，它就是 。
康托（Cantor，1845-1918）定义：一个实数定义为有理数的柯西序列a1,a2,...,an，此处an都是有理数，且满足对于任意自然数p必有自然数N，使当m＞N,n＞N时有|am-an|＜1/q。康托的定义来源于如下的启示：若只限于有理数，则“微积分”的命题“单调有界数列必收敛”可能不成立，例如有理数数列x0=1,xn+1=(xn+2/xn)/2 是单调递减的、有界的，其极限是 。
如果用最简明最通俗的语言来描述一下“实数”：按戴德金的说法，一个实数是有理数的一个集合；按康托的说法，一个实数是有理数的一个（柯西）序列。
应该说初中的学生所学知识还很有限，不能理解这样定义“无理数”。可是如果因为这个原因而用一个通俗有余，严谨不足的，经不起推敲的“无限不循环小数”来定义无理数，可以吗？
而在我进一步的探索下，发现尽管数学家们给出了无理数的严密的定义，但数学家所知道的无理数其实少得可怜：知道得最多的只是各式各样的根式，这是古希腊人即已知道的；其次是π与e。1874年康托还证明了无理数比有理数多得多，这也意味着，无形的、不是根式的无理数竟比直观的、根式的无理数多得多！数轴上代表有理数的点虽然是稠密的——任何两个有理数点之间恒有无数多有理数点，但是除有理数点外的“空隙”更多。“空隙”一旦填满，稠密概念发展成了连续的概念，数轴上点与实数完全对应。
无理数问题似乎可以就此画上句号。但笼罩在它身上的神秘面纱依然让我对它充满向往。
最后，我想说一说我在一路探寻的过程中，引起的对教育的一点看法。
在我们的数学教材中，对每个概念的定义都是以一种毋庸质疑的绝对真理的形式出现的，我们的学生，甚至是我们的老师都是不带一点疑问的去接受，去传授这些概念。可是如果现有的一切都是真理，那永远都不会有伟大的发现，世界也许还是远古蒙昧的模样。如果我们的教育只是培养学生运用现有知识去解决问题，而不会用怀疑的眼光看待问题，发现问题，那是我们教育的失误。如果我们的教育的结果只是让学生走上前人走过的路，并保证不走错即为成功的话，那将是我们教育的失败。而要让学生养成独立思考的习惯，首先要给他们学会思考的土壤。比如我们对有些概念的定义，是否可以允许存在不同的定义，并在辅导材料中介绍知识的来历。实际上很多知识的得来都是经过了一代又一代的人不断的探索，不断的完善才得出的，并不是一挥而就的，同时也不是一成不变的。从而在潜移默化中培养学生要以发展的眼光看待问题，同时敢于用怀疑的眼光看待问题，不做一个盲目跟从者，做一个会独立思考问题，敢于提出不同意见，并能坚忍不拔探索下去的学习的主人，而不是分数的奴隶。当然，这很大程度上取决于我们的考试制度。而近几年中考题越来越侧重考察学生的能力的变化上，也给了我们很好的方向和信心。
参考文献：《圆周率π的计算历程》三思科学网站    韩雪涛
《数学不是“数”学》三思科学网站     黄力民
《数学知识探源》   现代出版社        王新民主编