神马文学网决策树学习
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编写：Sunstone Zhang (Aug, 2001)
来源：www.cs.utexas.edu/users/mooney/cs391L
决策树
决策树是实例（表示为特征向量）的分类器。结点测试特征，边表示特征的每个值，叶结点对应分类。
可 表示任意析取和合取范式，从而表示任意离散函数和离散特征
可将实例分到多个分类(≥2)
可以重写为规则，用析取范式（DNF）形式
red ^ circle -> positive
red ^ circle -> A
blue -> B; red ^ square -> B
green -> C; red ^ triangle -> C
决策树学习
实例用(属性-值)对表示。离散值处理简单，连续值可以划分区间。
输出可以是离散的 分类，也可以是实数（回归树）。
能有效处理大量数据
可处理噪声数据（分类噪声，属性噪声）
属性值缺失，亦可处理
基本决策树算法
训练数据批处理，自顶向下递归构造决策树
DTree(examples, attributes)
If 所有样本属于同一分类，返回标号为该分类的叶结点
Else if 属性值为空，返回标号为最普遍分类的叶结点
Else 选取一个属性，A，作为根结点
For A的每一个可能的值vi
令examplesi为具有A=vi的样本子集
从根结点出发增加分支（A=vi)
如果examplesi为空
则创建标号为最普遍分类的叶结点
否则递归创建子树——调用DTree(examplesi,attributes-{A})
根属性的选取
决策树要尽可能小
寻找一组数据对应的最小决策树是NP-hard的
简单递 归算法是贪婪启发式搜索，无法保证最优
子集应尽可能“纯”，从而易于成为叶结点
最常用的启发规则是基于信息增益(Information Gain)
熵(Entropy)
一组样本S对于二元分类的熵(混淆度)为：其中p+和 p-为S中的正例、反例所占比例
若所有样本属于同一分类，则熵为0(定义0log0=0)
若样本平均分布(p+=p-=0.5)，则熵最 大(=1)
可把熵视为对样本集分类进行编码所需的平均二进制位数，采用哈夫曼编码压缩，越普遍的分类编码越短
对于多分类问题（假设有c个 分类），则熵的推广定义：其中pi为属于分类i的样本在S中所占比例
信息增益
属性的信息增益是按该属性分割后熵的消减期望值：其中Sv是S中属性A值为v的子集
例 子：
big, red, circle : +
small, red, circle : +
small, red, square : -
big, blue, circle : -
决策树归纳中的假设空间
决策树可以表示任何离散函数，归纳就是在此空间内的搜索
创建与数据一致 的单一离散假设，所以无法提供置信度或构造有用的查询
爬山式搜索存在局部最优问题。它可以保证找到符合任何无噪声数据集的树，但未必是最小的
批 量学习。每项决策需要一次数据集扫描，可提前结束学习以减少噪声影响
决策树学习中的误区
树的深度应尽量小。但贪婪搜索可能无法找到最小树，顶层结点可能不是高区分度的
计算复杂度
最坏情况是构造出一棵完全树，每条路径都测试了所有特征
各层i要对剩下的|A|-i 个属性计算最佳分割
一般来说，性能与属性个数成线性关系
决策树研究的历史
1960’s：Hunt的完全搜索决策树方法（CLS）对概念学习建模
1970 后期：Quinlan发明用信息增益作为启发策略的ID3方法，从样本中学习构造专家系统
同时，Breiman和Friedman开发的 CART（分类与回归树）方法类似于ID3
1980’s：对噪声、连续属性、数据缺失、改善分割条件等进行研究
1993：Quinlan 的改进决策树归纳包（C4.5），目前被普遍采用
过度拟合和修剪
通过学习训练数据来构造分类树，可能无法达到最好的一般化性能，因为
- 噪声数据的影响
- 某些决策仅基于少量数据，与客观事实不符合
一个假设H被称为对于训练数据是过度拟合的，指的是如果存在另一个假设 H’，在训练集上H的误差比H‘小，但在测试集上H’的误差比H小
过度拟合与噪声
分类或属性噪声都会导致过度拟合增加噪声实例<, +>（实际为-）
噪声也会直接导致样本的冲突(相同描述，不同分类)。应将叶结点标号为主要的分 类<, -> (实际上为+)
若属性不完备且不足以判别分类时，也可能导致样本的 冲突
避免过度拟合的方法
需要修剪时的两个基本方法
预修剪：支持度不够则停止树的增长
后修 剪：置信度不够则修剪掉该分支
子树是否需要修剪的判别方法：
交叉检验：保留部分训练数据用于验证
统计测试：通过训练集的统计来判 别
最小描述长度(MDL)：判别该假设的复杂度是否比记忆例外情况的复杂度更高
减小误差的修剪
一种后修剪，交叉验证的方法将训练数据分割为两个集合：“生长”和“验证”
用 “生长”数据构建一棵完全树
Until 验证数据集合上的精度降低
do： For each 树中非叶结点n
临时修剪掉n下子树，用标号为主要分类的叶子代替
在验证集上计算该树的精度 修剪掉那些对精度影响最大的分支
当训练集很小时， 可能会严重损害分类精度
最好能给定合适的结点数，达到最佳折中
连续属性
用分区方法，将连续值映射为离散值
结点分裂，以获得最大信息增益
达到最大信息 增益的单阈值分裂算法
For each 连续特征 Ai
根据Ai的值对样本排序
For each 序列中的每对Xi,Xi+1
If Xi和Xi+1的分类不同
将Xi和Xi+1的中点作为可能的阈值进行检验，即
例 如：长度(L): 10 15 21 28 32 40 50 (已排序)
分类: - + + - + + -
检查阈值：L<12.5, L<24.5, L<30, L<45
替代属性选取启发策略(增益比率)
信息增益缺点：偏爱那些有大量值的属性，产生很多小而纯的子集，如病 人ID、姓名、日期等
要降低这些情况下的增益
首先计算与分类无关属性的信息量，即该属性的熵其中Si为S中具有属性A第i个值的子集。某 属性按值分割样本越平均，则SplitInfo越大
增益比率利用SplitInfo来避免选择这些属性
增益比率细述
然而，当|Si|=|S|时SplitInfo可能很小甚至为0，从而导致信息比率过大 甚至溢出
C4.5对此进行了改进，它计算每个特征的信息增益，对于超过平均增益的特征，再进一步根据增益比率来选取特征
缺失的属性值
属性值可能未完全给出
一种解决方法是根据已有样本属性值的先验概率来对样本计算属 性值分布百分比
在训练时，缺失的属性会按照其分布百分比逐个计算。
例如，给定一个缺失了颜色属性值的正例，它将被视为0.6个red正 例、0.2个blue正例和0.2个green正例。
测试时的值缺失
若属性值未给出，则设定为??(通配符)，然后多路径到达叶结点，最后计算分类结果的各 分类权重
例如，
将得到0.6个正例，0.2+0.2=0.4个反例
将得到0.2个正例，0.5+0.3=0.8个反例
将得到0.6x0.2=0.12个正 例，0.2+0.2+0.3+0.18=0.88个反例
属性开销
有些领域中，某些属性比其它属性更容易获取其值(例如病人的体温比其胆固醇水平更容易得到)
尽 可能采用那些低开销的属性来分类
在信息增益中增加属性开销是有效的:
在不降低精度的同时降低了平均开销
递增式的决策树归纳
ID4和ID5可以递增更新已有的树
ID4有时会丢弃某些实例，不保证和历 史训练样本一致
ID5则保证和ID3的决策相同
ID4速度快，但精度降低
ID5速度较快且精度不变
决策树中的重复部分
决策树比DNF更复杂，因为它常常存在重复部分范式必须分解为析取范式，导致了重复 子树的出现
解决：使用复杂特征或决策图
构造性归纳：原子特征的逻辑组合或算术组合
边缘算法
决策树构造性归纳的叠代算法
边缘算法（总是沿着树的边缘走）
Until 没有新的特征被创建或到达限定值
do 使用当前的所有特征从训练集构造决策树
从边缘末端(正例)两个特征的联合来创建新特征
将 这些新特征加入现有特征集中，同时扩展每个样本的描述以包含所有新特征
边缘示例
多重模型
学习概念的多重候选定义
最终决策是基于多个学习模型的(加权)投票
装袋(Bagging)
用训练集的不同样本来训练同一个学习者，来创建多重模型 (Breiman,1996)
给定训练集大小为n，通过从原始数据取样(用替换方法)，创建m个不同的训练集(大小为n)
用简单的投票方 法来合并这m个模型
可用于任何学习方法
减少了不稳定学习算法的一般化错误，即当训练数据轻微改动时会导致决策结果剧烈变动的那些学习方法
引导(Boosting)
另一个生成多重模型的方法——重复更改同一个学习算法的数据
对弱学习 算法(假设的精度只要超过1/2即可)能保证性能的改进
对样本加权，每次叠代产生一个新的假设，对那些导致最终假设精度变差的样本重新加权
基 本算法
给所有样本赋予一个初始权重
For i from 1 to T do
从加权的样本中学习一个假设hi
减小那 些与hi一致的样本的权重
在测试时，每个假设会得到一个加权的投票(与训练数据上的精度成比例)
引导算法
For D中的每个样本，令其权重wi=1/|D|
For t from 1 to T do
从加权样本中学习一个假设ht
计算ht的误差εt，作为被错误分类样本的总权重
If εt >0.5 then 终止，else 继续
令βt= εt/(1- εt)
将ht正确分类出的样本的权重乘以βt
权重归一化以保证总 和为1
在测试时，每个假设ht获得投票的权重为log(1/ βt)，票数最多的假设作为最终决策
多重模型的实验结果
多决策树模型应用范围更广也更准确
引导算法性能比装袋算法好
引导算 法偶尔也会降低性能
编写：Sunstone Zhang (Aug, 2001)
来源：www.cs.utexas.edu/users/mooney/cs391L
决策树
决策树是实例（表示为特征向量）的分类器。结点测试特征，边表示特征的每个值，叶结点对应分类。
可 表示任意析取和合取范式，从而表示任意离散函数和离散特征
可将实例分到多个分类(≥2)
可以重写为规则，用析取范式（DNF）形式
red ^ circle -> positive
red ^ circle -> A
blue -> B; red ^ square -> B
green -> C; red ^ triangle -> C
决策树学习
实例用(属性-值)对表示。离散值处理简单，连续值可以划分区间。
输出可以是离散的 分类，也可以是实数（回归树）。
能有效处理大量数据
可处理噪声数据（分类噪声，属性噪声）
属性值缺失，亦可处理
基本决策树算法
训练数据批处理，自顶向下递归构造决策树
DTree(examples, attributes)
If 所有样本属于同一分类，返回标号为该分类的叶结点
Else if 属性值为空，返回标号为最普遍分类的叶结点
Else 选取一个属性，A，作为根结点
For A的每一个可能的值vi
令examplesi为具有A=vi的样本子集
从根结点出发增加分支（A=vi)
如果examplesi为空
则创建标号为最普遍分类的叶结点
否则递归创建子树——调用DTree(examplesi,attributes-{A})
根属性的选取
决策树要尽可能小
寻找一组数据对应的最小决策树是NP-hard的
简单递 归算法是贪婪启发式搜索，无法保证最优
子集应尽可能“纯”，从而易于成为叶结点
最常用的启发规则是基于信息增益(Information Gain)
熵(Entropy)
一组样本S对于二元分类的熵(混淆度)为：其中p+和 p-为S中的正例、反例所占比例
若所有样本属于同一分类，则熵为0(定义0log0=0)
若样本平均分布(p+=p-=0.5)，则熵最 大(=1)
可把熵视为对样本集分类进行编码所需的平均二进制位数，采用哈夫曼编码压缩，越普遍的分类编码越短
对于多分类问题（假设有c个 分类），则熵的推广定义：其中pi为属于分类i的样本在S中所占比例
信息增益
属性的信息增益是按该属性分割后熵的消减期望值：其中Sv是S中属性A值为v的子集
例 子：
big, red, circle : +
small, red, circle : +
small, red, square : -
big, blue, circle : -
决策树归纳中的假设空间
决策树可以表示任何离散函数，归纳就是在此空间内的搜索
创建与数据一致 的单一离散假设，所以无法提供置信度或构造有用的查询
爬山式搜索存在局部最优问题。它可以保证找到符合任何无噪声数据集的树，但未必是最小的
批 量学习。每项决策需要一次数据集扫描，可提前结束学习以减少噪声影响
决策树学习中的误区
树的深度应尽量小。但贪婪搜索可能无法找到最小树，顶层结点可能不是高区分度的
计算复杂度
最坏情况是构造出一棵完全树，每条路径都测试了所有特征
各层i要对剩下的|A|-i 个属性计算最佳分割
一般来说，性能与属性个数成线性关系
决策树研究的历史
1960’s：Hunt的完全搜索决策树方法（CLS）对概念学习建模
1970 后期：Quinlan发明用信息增益作为启发策略的ID3方法，从样本中学习构造专家系统
同时，Breiman和Friedman开发的 CART（分类与回归树）方法类似于ID3
1980’s：对噪声、连续属性、数据缺失、改善分割条件等进行研究
1993：Quinlan 的改进决策树归纳包（C4.5），目前被普遍采用
过度拟合和修剪
通过学习训练数据来构造分类树，可能无法达到最好的一般化性能，因为
- 噪声数据的影响
- 某些决策仅基于少量数据，与客观事实不符合
一个假设H被称为对于训练数据是过度拟合的，指的是如果存在另一个假设 H’，在训练集上H的误差比H‘小，但在测试集上H’的误差比H小
过度拟合与噪声
分类或属性噪声都会导致过度拟合增加噪声实例<
噪声也会直接导致样本的冲突(相同描述，不同分类)。应将叶结点标号为主要的分 类<
若属性不完备且不足以判别分类时，也可能导致样本的 冲突
避免过度拟合的方法
需要修剪时的两个基本方法
预修剪：支持度不够则停止树的增长
后修 剪：置信度不够则修剪掉该分支
子树是否需要修剪的判别方法：
交叉检验：保留部分训练数据用于验证
统计测试：通过训练集的统计来判 别
最小描述长度(MDL)：判别该假设的复杂度是否比记忆例外情况的复杂度更高
减小误差的修剪
一种后修剪，交叉验证的方法将训练数据分割为两个集合：“生长”和“验证”
用 “生长”数据构建一棵完全树
Until 验证数据集合上的精度降低
do： For each 树中非叶结点n
临时修剪掉n下子树，用标号为主要分类的叶子代替
在验证集上计算该树的精度 修剪掉那些对精度影响最大的分支
当训练集很小时， 可能会严重损害分类精度
最好能给定合适的结点数，达到最佳折中
连续属性
用分区方法，将连续值映射为离散值
结点分裂，以获得最大信息增益
达到最大信息 增益的单阈值分裂算法
For each 连续特征 Ai
根据Ai的值对样本排序
For each 序列中的每对Xi,Xi+1
If Xi和Xi+1的分类不同
将Xi和Xi+1的中点作为可能的阈值进行检验，即
例 如：长度(L): 10 15 21 28 32 40 50 (已排序)
分类: - + + - + + -
检查阈值：L<12.5, L<24.5, L<30, L<45
替代属性选取启发策略(增益比率)
信息增益缺点：偏爱那些有大量值的属性，产生很多小而纯的子集，如病 人ID、姓名、日期等
要降低这些情况下的增益
首先计算与分类无关属性的信息量，即该属性的熵其中Si为S中具有属性A第i个值的子集。某 属性按值分割样本越平均，则SplitInfo越大
增益比率利用SplitInfo来避免选择这些属性
增益比率细述
然而，当|Si|=|S|时SplitInfo可能很小甚至为0，从而导致信息比率过大 甚至溢出
C4.5对此进行了改进，它计算每个特征的信息增益，对于超过平均增益的特征，再进一步根据增益比率来选取特征
缺失的属性值
属性值可能未完全给出
一种解决方法是根据已有样本属性值的先验概率来对样本计算属 性值分布百分比
在训练时，缺失的属性会按照其分布百分比逐个计算。
例如，给定一个缺失了颜色属性值的正例，它将被视为0.6个red正 例、0.2个blue正例和0.2个green正例。
测试时的值缺失
若属性值未给出，则设定为??(通配符)，然后多路径到达叶结点，最后计算分类结果的各 分类权重
例如，
属性开销
有些领域中，某些属性比其它属性更容易获取其值(例如病人的体温比其胆固醇水平更容易得到)
尽 可能采用那些低开销的属性来分类
在信息增益中增加属性开销是有效的:
在不降低精度的同时降低了平均开销
递增式的决策树归纳
ID4和ID5可以递增更新已有的树
ID4有时会丢弃某些实例，不保证和历 史训练样本一致
ID5则保证和ID3的决策相同
ID4速度快，但精度降低
ID5速度较快且精度不变
决策树中的重复部分
决策树比DNF更复杂，因为它常常存在重复部分范式必须分解为析取范式，导致了重复 子树的出现
解决：使用复杂特征或决策图
构造性归纳：原子特征的逻辑组合或算术组合
边缘算法
决策树构造性归纳的叠代算法
边缘算法（总是沿着树的边缘走）
Until 没有新的特征被创建或到达限定值
do 使用当前的所有特征从训练集构造决策树
从边缘末端(正例)两个特征的联合来创建新特征
将 这些新特征加入现有特征集中，同时扩展每个样本的描述以包含所有新特征
边缘示例
多重模型
学习概念的多重候选定义
最终决策是基于多个学习模型的(加权)投票
装袋(Bagging)
用训练集的不同样本来训练同一个学习者，来创建多重模型 (Breiman,1996)
给定训练集大小为n，通过从原始数据取样(用替换方法)，创建m个不同的训练集(大小为n)
用简单的投票方 法来合并这m个模型
可用于任何学习方法
减少了不稳定学习算法的一般化错误，即当训练数据轻微改动时会导致决策结果剧烈变动的那些学习方法
引导(Boosting)
另一个生成多重模型的方法——重复更改同一个学习算法的数据
对弱学习 算法(假设的精度只要超过1/2即可)能保证性能的改进
对样本加权，每次叠代产生一个新的假设，对那些导致最终假设精度变差的样本重新加权
基 本算法
给所有样本赋予一个初始权重
For i from 1 to T do
从加权的样本中学习一个假设hi
减小那 些与hi一致的样本的权重
在测试时，每个假设会得到一个加权的投票(与训练数据上的精度成比例)
引导算法
For D中的每个样本，令其权重wi=1/|D|
For t from 1 to T do
从加权样本中学习一个假设ht
计算ht的误差εt，作为被错误分类样本的总权重
If εt >0.5 then 终止，else 继续
令βt= εt/(1- εt)
将ht正确分类出的样本的权重乘以βt
权重归一化以保证总 和为1
在测试时，每个假设ht获得投票的权重为log(1/ βt)，票数最多的假设作为最终决策
多重模型的实验结果
多决策树模型应用范围更广也更准确
引导算法性能比装袋算法好
引导算 法偶尔也会降低性能