有限维半单李代数简明教程

内  容简介
    本书以最短的篇幅，简明扼要而又不失严谨地讲述复数域上有限维半单
  李代数的分类与表示理论．全书共分8章，前6章紧紧围绕半单李代数的分
  类这一中心内容展开，介绍了李代数的基本理论，包括幂零性、可解性、半单纯
  性、Lie定理、Cartan分解、Killing型、根系结构、邓肯图等．后2章先是利用初
  等方法给出三维单李代数sl(2，C)的有限维表示的分类，然后通过介绍泛包
  络代数、Casimir算子、Weyl群等有效工具，在引进Verma模的基础上，给出
  了一般半单李代数有限维表示的分类，给出有限维不可约表示的Weyl特征
  标公式的证明等．各章均配有适量习题．

《大学数学科学丛书》序
    按照恩格斯的说法，数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学．从恩
格斯那时到现在，尽管数学的内涵已经大大拓展了，人们对现实世界中的数量关系
和空间形式的认识和理解已今非昔比，数学科学已构成包括纯粹数学及应用数学
内含的众多分支学科和许多新兴交叉学科的庞大的科学体系，但恩格斯的这一说
法仍然是对数学的一个中肯而又相对来说易于为公众了解和接受的概括，科学地
反映了数学这一学科的内涵．正由于忽略了物质的具体形态和属性、纯粹从数量关
系和空间形式的角度来研究现实世界，数学表现出高度抽象性和应用广泛性的特
点，具有特殊的公共基础地位，其重要性得到普遍的认同．
    整个数学的发展史是同人类物质文明和精神文明的发展史交融在一起的．作
为一种先进的文化，数学不仅在人类文明的进程中一直起着积极的推动作用，而且
是人类文明的一个重要的支柱．数学教育对于启迪心智、增进素质、提高全人类文
明程度的必要性和重要性已得到空前普遍的重视．数学教育本质是一种素质教育；
学习数学，不仅要学到许多重要的数学概念、方法和结论，更要着重领会到数学的
精神实质和思想方法．在大学学习高等数学的阶段，更应该自觉地去意识并努力体
现这一点．
    作为面向大学本科生和研究生以及有关教师的教材，教学参考书或课外读物
的系列，本丛书将努力贯彻加强基础、面向前沿、突出思想、关注应用和方便阅读的
原则，力求为各专业的大学本科生或研究生(包括硕士生及博士生)走近数学科学、
理解数学科学以及应用数学科学提供必要的指引和有力的帮助，并欢迎其中相当
一些能被广大学校选用为教材，相信并希望在各方面的支持及帮助下，本丛书将会
愈出愈好．
    李大潜
    2003年12月27日
  前    言
    最近几年听到些将李代数列为本科选修课程及研究生公选课的建议．我们认
为从以下三个方面看，这个建议很有道理．
    第一，李代数是现代数学前沿领域中具有重要地位的学科之一，它有悠久的历
史，现在仍在蓬勃地发展，而且催生了Kac—Moody代数、顶点算子代数、量子群、
共形代数等新兴分支的出现和发展．它又是现代数学的重要基础，和群论、拓扑、
微分几何以及理论物理都有密切的联系，并在上述领域中有许多的应用．将它列为
选修课，有利于拓宽学生的学科视野，了解现代数学不同学科、不同领域之间的交
叉联系，融会贯通．
    第二，李代数中包含了近现代数学史上一些著名的漂亮结果，例如复单李代数
的分类与九种邓肯图之间的一一对应；weyl关于半单李代数的有限维不可约表示
的特征标公式等，这些结果不需用太多艰深的知识就可证明，是用来对本科生进行
数学美学教育的非常理想的素材．
    第三，在本科教学中开设任何一门选修课，都必须要考虑到两个不可避免的制
约因素：一是学生的基础知识是否够用，其次是在有限的课时(一般是一个学期约
60课时)，所选学科的核心内容、基本方法能否系统、完整地讲完．李代数在这两
个方面都有明显的优势．因为有限维李代数的基本理论，实际上可看作是向量空间
及其线性变换理论的扩充及延伸．在学完线性代数之后进入李代数课程的学习，从
知识发展的脉络看，中间是一条无障碍的直通道．不需再做任何知识上的补缺或铺
垫，只需对内容稍做精简、调整即可．
    当然，选择什么样的教材是要考虑的．
    目前，国内外出版的通用的李代数教材大概有四五种(参阅本书后的参考文
献)，这些教材虽然各有优点与特色，但它们的共同点都是以李代数方向的研究生
为主要对象，内容比较庞大与艰深，不适合用作本科选修教材．
    我们认为有必要重新编写一部简明教材，为李代数能顺利进入本科教学创造
条件，这就是我们编写此书的目的．
    在编写中，我们首先确定了两个方针：第一，写出的教材必须是一本名副其实
的简明教材，在保证基本内容、基础知识不削弱的前提下，最大限度地删繁就简，
同时要使全书有自己独立、严谨、完整的结构体系；第二，使线性代数方法与技巧
的运用成为本书的特点，内容的安排力争做到先易后难，由浅入深，重点突出．
    根据上述要求，在编写过程中采取了以下三点措施：
    (1)全书共分8章，每章配有适量习题．
    第1章到第6章以有限维半单李代数的结构定理以及单李代数的分类为中心
内容．围绕此中心，依次讲授李代数的一些基本概念、李定理、Engel定理、Cartan
子代数与Cartan分解、Killing型、素根系、Caftan矩阵与邓肯图、同构定理等，
直到完成单李代数分类的证明．所有的定理，都给出了详尽的证明．
    在这一部分内容的处理中，以下几处和其他教材是不同的．
    ①§4．3补充了线性代数的一个内容一对偶空间．目前不少学校的线性代数
课不讲这个内容，但在李代数中要用到，我们补上了．熟悉这个内容的读者可以跳
过这一节．
    ②Weyl群与内自同构群的概念及有关结果后移到第8章，作为表示理论的基
础给出．这样安排的目的是为了使前6章的中心更加突出，内容安排更紧凑．
    ③Cartan子代数的共轭性定理虽然在理论上很重要，但其作用无非是说明运
用Cartan分解研究半单李代数的结构与分类的合理性与科学性，并不影响后者的
证明过程．为了使读者尽快掌握前6章的核心内容，我们仅在§2．5中介绍此定理
的意义而将其证明过程连同预备知识单独作为一节(5 8．6)放到本书的最后，作
为选学内容处理．
    第7、8两章讲表示理论初步．
    第7章讲三维单李代数sI(2，c)的有限维不可约模的构造、分类以及完全可约
性定理．证明中基本上只用了线性代数知识，我们试图通过对这样一个具体模型的
剖析，使读者对线性代数技巧在表示理论中的运用有所了解，并从中得到启发。
作为进一步研究表示理论的需要，本章同时介绍了泛包络代数、PBW定理以及
Casimir算子等．
    第8章主要讲授Weyl关于半单李代数的有限维表示的完全可约性定理以及
特征标公式、维数公式等．有关Weyl群的知识，作为研究本章中心内容的基础，
安排在第2节．在这一章里，作为表示理论证明技巧的一个应用，给出了Serre关
于生成元定义关系的定理(即有限维半单李代数存在性的统一证明)．
    和其他教材比较，本书精简掉的内容有：李代数的扩张、自同构群、表示的张
量积、Weyl基与Chevalley基、Levi分解、表示的重数公式、例外李代数等．
    (2)每章开头都有一个概要，扼要点出本章讨论的主要问题与结果．
    每章的最后一节都是本章的小结，对本章出现的主要概念、定理的作用、意义
及相互间的联系，做一个串联式的评析．希望这些内容对教师备课以及学生复习能
有所帮助．
    在某些章的小结中，还插入了一些有关数学史的片段，介绍了一些重要定理在
历史上发现的过程以及相关数学家的贡献．这本是一个很有意义的内容，理应写得
更加有趣、生动一些，无奈我们自己的数学史知识极为有限，短期内又难以搜集更
多的资料，只能是知道多少写多少，写起来颇为吃力，恐怕会令读者失望．
    (3)书中多处对于概念或定理除必要的陈述及证明之外，还有或多或少的注释
与评注，这也是本书的一个特别之处．这些内容有些是我们自己学习中的体会，有
些是针对我们了解到的学生在学习过程中可能出现的“盲点”而写的．希望这个做
法能使大多数同学，特别是自学者从中受益．
    本书的前6章曾在首都师范大学数学科学学院本科生中讲授过4个轮次，现
在的版本正在中国科技大学试用．
    本书也适合物理系部分专业的研究生使用．
    作为一本简明教程，经典内容中的哪些部分可删，哪些应保留，保留下的内容
应如何重新组织，对于我们都是新问题．由于没有先例可循，再加上自身水平的限
制，本书恐有许多不当之处．如今冒然出版，只盼它能起个抛砖引玉的作用．
    恳切希望本书出版后，能得到同行及广大读者的批评指教，我们在此一一致
谢!
    苏育才(中国科学技术大学)
    卢才辉(首都师范大学，前言执笔者)
    崔一敏(首都师范大学)
    2007年12月

作者简介
苏育才  1963年5月出生于福建永定。1982年于
厦门大学数学系获学士学位，1985年在该系获硕士
学位，1989年在中国科学院系统所获博士学位。先
后在英国、加拿大、美国、澳大利亚访问10年。曾任
上海交通大学数学系教授、博士生导师。2005年开
始任中国科技大学数学系“百人计划”特聘教授。长
期从事李代数、李超代数和Kac—Moody代数的教学
及研究工作。先后主持国家自然科学基金、教育部
优秀青年教师资助计划基金、教育部跨世纪优秀人
才培养计划基金、教育部博士点基金、中国科学院百
人计划基金、中国科学院知识创新工程重要项目子
课题负责人。在国内外著名学术刊物上发表论文
80余篇。
卢才辉祖籍福建永定，1939年出生于印度尼西亚，
1965年毕业于北京大学数学力学系数学专业。曾任
首都师范大学数学系系主任、教授、博士生导师，长
期从事代数、李代数和Kac—Moody代数的教学及研
究工作，并主持国家自然科学基金、北京市自然科学
基金等项目。在国内外著名学术刊物上发表论文40
余篇，1994年获北京市科技进步奖一等奖，2()()0年
获北京市高校优秀教学成果一等奖(领衔合作)，
1997年评为北京市有突出贡献的专家。
崔一敏1941年出生于北京，1965年毕业于北京师
范学院数学系(现首都师范大学数学科学学院)，毕
业后留校任教，副教授，长期从事高等代数、近世代
数、李代数的教学与研究工作，在学术刊物上发表过
数十余篇论文。

目  录
《(大学数学科学丛书)》序
前言
主要符号表
第1章基本概念……………………………………．
  §1．1李代数与结合代数……………………………
  §1．2子代数、理想、商代数………………………．．
  §1．3同态与同构…………………………………．
  §1．4可解性、幂零性、半单纯性……………………．
  §1．5表示与伴随表示……………………………．．
  §1．6导子与内导子………………………………．．
  §1．7本章小结……………………………………
  习题1……………………………．……………一
第2章可解李代数与幂零李代数……………………．．
    §2．1 Lie定理……………………………………．
    §2．2 Engel定理…………．一……………………．
    §2．3权和广义权空间分解…………………………
    §2．4广义权空间的性质……………………………
    §2．5 Cartan子代数……………．．………………．．
    §2．6本章小结……………………………………
    习题2……………………………………………
第3章Cartan判别法则……………………………．
    §3．1 Killing型…．………………………………．．
    §3．2 Cartan关于可解性的判别准则…………………
    §3．3半单纯性的判别法则…………………………
    §3-4本章小结……………………………………
    习题3……………………………………………
第4章半单李代数的结构……………………………
    §4．1李代数的直和…………………．……………
    §4．2半单李代数的理想分解………………………．
 §4．3对偶空间……………………………………………
  §44半单李代数的Caftan分解……………………………
  §4．5半单李代数中的根链…………………………………
  §4．6 s2(3，c)的Cartan子代数、根向量、根及Killing型的计算．
  §4．7本章小结…………………………………………．．
  习题4…………………………………………………．．
第5章半单李代数的根系和素根系…………………………．．
    §5．1根系张成的实向量空间HR…………………………．．
    §5．2素根系……………………………………………．
    §5．3素根系与Cartan矩阵………………………………．
    §5 4邓肯图……………………………………………．
    §5．5本章小结…………………………………………．．
    习题5…………………………………………………．．
第6章半单李代数的同构与单李代数的分类…………………．
    §6．1标准生成元系和标准基………………………………
    §6．2根系和素根系的合同对应…………．………………．．
    §6．3同构定理…………………………………………．．
    §64单纯性的充要条件…………………………………．
    §6．5单李代数的分类……………………………………．
    §6．6典型李代数………………………………………一
    §6．7本章小结…………………………………………．．
    习题6…………………………………………………．．
第7章表示理论及sz(2，C)的有限维表示的分类………………．
    §7．1表示的同态、同构和合成序列………………………．．
    §7．2三维单李代数sl(2，c)的有限维表示的分类……………
    §7．3泛包络代数…………………………………………
    §7．4本章小结…………………………………………．．
    习题7…………………………………………………．．
第8章最高权模、Weyl群、特征标、有限维模的分类…………．
  §8．1最高权表示…………………………………………
  §8．2 Weyl群……………………………………………
  §8．3有限维模的分类……………………………………．
§8．4 Serre定理的证明……………．．
  §8．5形式特征标…………………．．
  §8．6共轭定理的证明………………
  §8．7本章小结……………………．
  习题8……………………………．
参考文献………………………………
名词索引………………………………
《 大学数学科学丛书)》已出版书目………．．