智慧的灵光 050301 关于数学和科学的随想

关于数学和科学的随想

作者：乌拉姆

乌拉姆（1909——），美国数学家。1945年，他同被誉为“计算机之父”的冯·诺依曼合作，首次引进随机遍历定理。1950年参加美国第一颗氢弹的计算工作。1967年任美国总统科学顾问委员会顾问，并当选为美国国家科学院和艺术研究院院士。他是美国导弹计划的发起人之一。

究竟什么是数学？许多人给它下了定义，但没有人能真正成功，定义和它本身总是不尽相符。粗略地说，人们知道数学是用模型、关系和运算来处理数和图型的，在形式上它包括公理、证明、引理、定理这些步骤，从阿基米德时代起就没变过；还知道数学是用来构成一切理性思维的基础的。

有些人会说，是外部世界使我们的思维——即人脑的运转——形成现在称之为逻辑的东西；另一些人——哲学家和科学家都可能——说，逻辑思维（思维过程）？是头脑的内部功能“独立”于外界作用而进化发展的产物。显然，数学是有二重性的。它似乎是这样一种语言，既是描述外部世界用的，又或许更是分析我们自身的。人脑这个器官有百多亿根神经，神经之间的连通物更多，在进化过程中，它肯定是由于许多外界事变的影响才从原始的神经系统变化发展而来的。

数学是确实存在的，因为事实上存在着命题和定理。它们陈述起来是很简单的，但证明就需要好几页纸来说明。没有人知道为什么应该是这样。许多这样的命题的简明性既有美学上的价值又有哲学上的意义。

在数学的整个发展过程中，它的美学意义具有压倒一切的重要性。一个定理是否有用倒没多大关系，重要的是它是否漂亮。不是数学家的人，即使是其他科学家，也很少能充分理解数学的美学价值，但一个数学家在这方面就决不会是外行。但是，也要从另一角度看到数学的可称为非常乏味的一面，这包括必须精雕细镂，每一步骤都要搞到严格可靠。数学上不是粗笔勾勒就能完事的，所有细节都得及时交代清楚。

庞加勒说过：“数学是一种无法用以表达不精确或含糊思想的语言。”我记得他是许多年前在圣路易斯一次论述世界科学的讲话中说的。他还描述了自己说英语而不说法语时的异样感觉，以此为例来说明语言对思维的影响。

我比较赞同他的说法。众所周知法语有一种明晰性，而其他语言就没有，我觉得在进行数学和科学写作时这就会造成差别。思想会被不同的表达方式所驾驭。用法语时，概括性充斥了头脑，促使我趋于扼要和简明；用英语时感受到的是实用观念；德语则容易让人感到有些什么深意而其实并不见得有那么回事。

波兰语和俄语适合于一种思想的酝酿和发展，就像茶越来越浓那样。斯拉夫语容易引起忧郁、深情、豪放，更富于心理意味而不是哲学意味；但并不像德语那样朦胧或耽于词藻，词和音节重重叠叠，有时并没有多少关联的意思也被串到了一起。拉丁语又另有一功，它整齐有序，总是很清晰，词和词的分隔很清楚，不像德语中的词粘在一起，这二者的差别就好比煮得好的米饭和煮过头的米饭。

总的来说，我本人对各种语言的感觉如下：讲德语时讲的一切都显得太过分，用英语则相反，感到没能充分表达。只有说法语觉得恰到好处，还有波兰语也是这样，因为是我的母语，觉得很自然。

一些法国数学家写东西往往风格很流畅，不去过多地陈述那些具体的定理，这比起现在的研究论文和著作的那种每页上满是符号公式的文体要舒服得多。一看见行文很少而只有公式和符号，我就会厌烦。看着那么些东西但不明白主要想说明什么，真是太吃力了。我怀疑有多少数学家会真正去阅读和喜欢这样的东西。

诚然，重要的然而不太顺畅和不那么漂亮的定理是有的，例如某些与偏微分方程有关的工作往往形式上文体上不大“优美”，但它可能很有“深度”，很可能包含着有待从物理上阐释的重要结论。

那么在今天人们如何去作价值评判？

从某种意义上说分析自己工作的动因和原由也是数学家的职责，但连他们都往往对自己不负责任，觉得自己的主要任务就是证明定理，至于对这些定理的重要性在哪里哪怕作一些简要说明也认为是不必要的。这样看来，要把美作为惟一的标准，不有点故弄玄虚吗？

我相信未来几十年中对于美的程度甚至在形式层次上都会有更多的理解。当然那时候评价标准可能又会有所变化，会有一种不可分析的高层次上的超级美。迄今为止，想要极为精确地刻划出数学的美学标准而提出的定义都显得太狭隘短浅。美的标准必须与关于外部世界的其他学说或人脑的发展过程联系起来考虑，除非是纯粹惟美的、就音乐那样的领域来说的非常主观的东西。而且我相信就是音乐的本质也是可以分析的——当然仅仅是在某种程度上——至少从形式的标准来看，通过把类比的想法数学化就行。

一些多年没有解决的老问题正在处理。有些解决得很成功，另一些虽然解决了但可以说还留有非议。看来同样重要同样令人感兴趣的问题中这两种情况都有。但有一些甚至是著名的经典问题却是用相当特殊的方法解决的，以致这方面没有什么再可提可说的了。另一些不那么有名而得到直接解决的则引起了兴趣，那些方面成了热门，看来会开辟出新天地。

在出版物上，今天的数学家们几乎像被逼着似地要把他们获得结果的路子隐藏起来。死于21岁的年轻法国天才埃瓦利斯特·伽罗华在那场致命的决斗前，写的最后一封信里着重指出了实际的发现过程和最终见诸铅字的证明是多么不同。这是值得再三强调的很重要的一点。

总的和一般地来说，工作着的数学家们对于独特成就和新理论的价值方面的确都有上面所说的这种感觉。因此，即使还没有下定义，对于什么是数学给出的美感的确存在着某些客观的确定的东西，有时候它也是和数学在本身和其他科学分支中的有效性有关的。为什么数学对于描述物质世界那么有用，至少对我来说还是个哲学上的谜。尤金·魏格纳写过一篇极富魅力的文章谈论数学的这种“不可思议”的有效性，并以“数学的超乎理性的有效性”为题。

当然，数学是把所有理性思维形式化的一种很简明的方式。

由于做习题就像所有别的游戏一样能锻炼器官，所以数学在小学、中学和大学阶段都有明显的训练大脑的作用。我说不出今天数学家的头脑是否比希腊时代的更敏锐些，不过从长期的进化过程来看肯定是这样的。我深信数学可能具有伟大的发生学作用，它可能是人脑臻于完善的很少方法之一。如果确是如此，那么对人类来说，是作为一整个群体还是只有一些个人进入自身命运的一个新纪元就是最为重要的了。数学可能是一条在物质上——从解剖学的意义而言——开发脑中新的连通线路的途径。它有使思维敏捷的作用，尽管它的文献资料爆炸般地剧增有点让人受不了。

每个形式体系，每个规则系统里都有某种戏法。犹太教法典甚至希伯莱神秘教义的有些东西看起来对智力没有什么益处，它们是符合某种语法规则的烹饪配方法的庞大集子，有的或许还有点想象力，有的就玄妙莫测，反正是相当随心所欲的。但许多世纪以来，千万个学者对这些著作进行了钻研、记录、分析和归类，这些工作可能就锻炼了人们的记忆力和推理能力。正像磨刀石可以磨刀一样，大脑可以在思考对象之钝物上磨砺得敏锐起来，各种方式的勤奋思索都有它的价值。

数学上有许多命题，就像那个叫做“费马大定理”的，似乎很特殊，与数论的主体无关。它们陈述起来很简单，却使得那些最了不起的天才想要证明它们的全部努力都付诸东流。这些命题激发了青年人才（包括我本人）去思考更为一般的问题。就费马问题来说，由于它本身的专门和自成一脉，在数学发展最近三个世纪里已经导致了数学思想上颇有生命力的新概念的创立。尤其是代数结构中的所谓理想理论。数学史上有一系列这样的创造。

可以创造一般的空间概念。它无疑是我们感觉到的物质空间的抽象，但既不完全受其规律支配，也非惟一地为其映象；它可以推广到n大于三的n维甚至直到无限多维空间；它至少作为一种语言在描述物理自身的基础上极为有效——这些都是人脑的能力所创造的奇迹吗？还是物质现实的本性所展现的呢？无限有着不同的等级和种类这一点究竟是发明还是“发现”，这对于敏感善思的头脑不仅有哲学上的影响而且不止于此，还有显著的心理学影响。

说到数学当然还有其他科学——特别是物理——的奇异的魅力和神秘的吸引力，不妨注意一下经常发生的一种现象，即下象棋的水平不高的棋手甚至普通新手走出了很有深度的妙局。我经常注意不熟练的或棋艺平常的初学者。在约莫15步以后看他们的盘面就常常会发现双方都有许多妙着可走，这大概总是出于偶然而不是事先构想好的。我就奇怪，撇开那甚至尚未看出这些妙着的幼稚棋手不谈，从这盘棋本身来说是怎么一步步走到这样极富艺术性和耐人寻味的局面的。我不知道“走”的游戏里是否也会有类似的情况。虽然由于对这种绝妙的游戏的门道我本人知之不多而无法判断，但我很想知道，一个内行面对游戏的一个局面是否就说得出这是偶然造成的还是那巧妙游戏的正常的合乎逻辑的发展。

在科学上，特别是数学上，某些算法似乎有类似的奇妙而有趣的现象。它们自身似乎有逐步展开的能力，就像求解问题的过程和观点的逐步发展形成，开始看来只是为特定目的而设计的工具会有一些预想不到、出乎意外的新用途。

顺便说起，我想起一个我不知道如何解答的小小哲学难题：假定有一种单人或两人玩的纸牌游戏过程中，玩牌者可以作弊一到二次。例如在坎菲尔德纸牌游戏里，如果有一次而且仅有一次，将牌面改换一二张牌，游戏或者说对策并没有被破坏。它还是一场数学意义上严格、完整的纸牌对策，不过是另一种纸牌对策而已，只是内容变得更丰富一点、更一般化。但要是取一个数学系统，一个公理系统并允许加入一二条错误的命题，结果马上就会是胡说八道，因为只要有一条假命题，就会要什么结果就推得出什么结果。这两者的区别在哪里？也许在于事实上只有游戏可以允许某一类的举动，而数学上一旦引入一条错误命题就会马上得出“零等于一”这样的命题。因此必定有方法可以把数学对策加以推广，使得可以犯一些错误但不会得出绝对的胡说，而只是得到一个更广的系统。

霍金斯和我考虑过如下的有关问题，这是由“20个问题”变化来的一个对策：一个人想好一个1和1 00（这个数正好是小于2²的）之间的数，另一个人可以问最多20个问题，对每个问题第一个人只回答是或不是。很明显可以这样来猜到那个想好的数，即先问：这个数是在1 00的前一半里吗？然后下个问题再用“一半”来缩小数的范围，这样问下去，最后在1092（1 00）次之内就能猜到这个数。现在假定答者可以说一到二次谎，这样要问几次才能得到正确答案？显然需要问n次以上才能在2ⁿ个数里猜中一个，因为不知道什么时候说谎。这个问题没有得到一般的解决。

数学观念和灵感有二个主要的来源——一方面，由外部现实即物质世界的影响而引起；另一方面，由人的生理或许基本上是脑的生理发展过程而引起。从一个不太明显和比较特殊的意义上说，这一点在今天和不久以后的计算机运用上已经和将会继续得到反映，有一个同态象。

即使最唯心的认为数学纯粹是人心的创造的观点也须得符合这样的事实：即几何定义和公理——实际上大多数数学概念都是如此——的选择是由外界刺激和对在“外部世界”里进行的观察实验的内省，通过我们的意识获得的印象的结果。例如，概率论就是由有关机会的游戏中的一些问题发展而来的。今天，有许多计算机是专为解决特定数学问题而设计的，靠它们就有希望大为广泛地进行思想实验，将经验理想化，并概括出更为抽象的思维模式。

几年前在普林斯顿，庆祝冯·诺伊曼计算机建成25周年大会上，我在讲话时忽然心血来潮，默默地估算起每年数学杂志上有多少定理发表（指那些标明为“定理”的、发表在公认的数学杂志上的命题）。我很快地心算着，连自己也奇怪竟能在谈着完全不相干的事的同时，算出每年约有十万个定理。我马上转过话题，把这说了出来，听众不禁倒吸了一口冷气。读者可能会感兴趣的是，听众中有两个青年数学家第二天跑来跟我说，由于被这极大的数字所震动，他们在院图书馆作了一次系统详细的调查，将杂志种数乘以一年的期数，再乘上每期的页数和平均每页上的定理数，估计下来一年有近二十万条定理。这样一个巨大的数字无疑值得好好思考。人们如果承认数学的意义应该比游戏和智力测验大些，那么这就是一件令人担忧的事情了。危险显然在于数学本身将遭到割裂，分成互不相关的不同科学或许多联系松散的独立学科。我本人希望不要发生这种情况，因为如果定理多到让人无法概观，那么谁能来判断什么是“重要”的呢？这也是个保存资料、存储和检索科学成果的问题。而这现在成了个首要问题，没有人机对话，就无法找出最需要的东西。

要始终跟得上当代的成果，即使仅仅是那些突出的引人注意的成果，实际上也是不可能的。那种认为数学将作为一门统一的科学存在下去的观点与此怎么一致得起来呢？正像一个人不可能见过所有的美女或所有优美的艺术作品而最后只娶了一个美人一样，可以说在数学上一个人是和他自己的小领域结婚的。正因为这样，数学研究的价值评判越来越困难，我们大多数人基本上成了技术师。年轻科学家所研究的数学客体的种类正指数倍地增长，也许，人们不应该把这种现象称之为对思维的亵渎，不过它到有点像大自然造就了无数种不同的昆虫那样，使得世界丰富多彩。但是，多少总让人感到，这同我们对于科学的本质观念，即要去理解、缩写、概括、尤其是发展关于理智和自然现象的记号系统这一点有点背道而驰。

在科学发展上，只有那些出乎意料的东西、真正的新思想新概念对于年轻心灵的震动，才会不可逆转地铸就一个人才。直到成年或老年，甚至已不大敏感或精疲力竭时，那意外的东西造成的好奇还会引起新的兴奋。用爱因斯坦的话说：“我们能体验到的最美的东西就是那神妙莫测的，这是所有真正的艺术和科学的源泉。”

数学产生出概念，它们将自己独立地生存发展。数学就这样创造了新思维对象——可以叫做超现实。它们一旦诞生，就不再是哪个个人所能控制的，只有一类头脑，既永恒交替的数学家群体才能驾驭它们。

数学上的天才和智者很难定量地确定。我似乎觉得从碌碌之辈直到高斯、彭加勒和希尔伯特那样最高层次的人的过渡是几乎连续的。很大程度上不仅仅取决于脑。肯定有我所称的“内分泌因素”（由于找不到更合适的词）或品格特征：坚韧性、体魄，工作的意愿，有些人叫做“激情”的东西。这些在很大程度上取决于多半是儿童或少年时代造成的习惯，这里早期的偶然影响起很大作用。毫无疑问，那称为想象力和直觉的特质基本上由脑的生理结构特性决定，但通过经验导致一定的思考习惯和思考过程的方向后，脑的生理结构也是可以得到部分改善的。

是否愿意投身于未知和不熟悉的问题是因人而异的。数学家有截然不同的类型——一类喜欢进击现有的问题或者在现成的基础上进行再建，另一类喜欢摸索新模式新路子。第一种人可能占大多数，约在80％以上。年轻人想要成名就往往去攻一个前人已搞过但未解决的问题，这样，要是他运气好并且能力也行，那就会像个运动员那样打破纪录，跳得比哪个前人都高。虽然通常有较大价值的是形成新的概念，但年轻人即使懂得其重要性和美学价值也往往不愿作此努力，因为不知道这新思想会不会被赏识。

我是那种不愿作改进和雕凿而喜欢开创新东西的。开创的基始越简单越“低”我越喜欢。我不记得用过什么复杂的定理去证明更复杂的定理（当然，这都是相对而言的，“太阳底下没有新东西”——一切都可以溯源至阿基米德甚至更早）。

我还相信一生中改换工作领域能够恢复活力。在一个小领域或狭范围的问题上搞得太久就会固步自封，阻碍获得新观点，使人变得迂腐。不幸的是，这种不利于数学创造性的情况并不少。

除了其壮观的前景、美学价值和对新现实的想象力以外，数学还有一种不太明显或者说不太有益的特性即能使人上瘾。这或许类似一些化学麻醉品的作用。哪怕最小的游戏题，一下子就看得出是肤浅或老一套的，也会有这种诱惑力，只要开始去解它就会被吸引住。我记得《数学月刊》有一次偶然刊登了一位法国几何学家送去的，关于在平面上排列圆、直线和三角形的极平常的问题，正像德国人所说的是“次要的”。不过一旦开始去想怎么解法，这些图形就可能吸引住你，即使你始终明白答案是不会导致什么令人激动或较有普遍性的问题的。这很可以同我提到过的费马定理的情况对照一下，费马定理是导致创造了大批代数新概念的。二者的区别或许在于一般问题经过一定程度的努力后总是能解决的，而费马问题却仍未解决，一直保持着诱惑力。不过这两种类型的数学好奇心都能让数学爱好者上瘾，因为想当数学家的人有分别感兴趣于普通枝节和最有感染的问题的。

在科学家工作习惯的其他方面，变化是比较慢的。今天科学象牙塔里的生活方式的特点是科学会议更多，参与政府工作更多。

不过像写信这样既简单又要紧的事情上也有很大变化。这在过去往往是一种艺术，不仅仅属于文学界的艺术。数学家写起信来是很长的，他们用普通手写体详细地交流数学思想，也谈私人琐事。而今由于秘书代劳的便利，反倒使那种私人间的交流成了难事，并且由于专业细节难于口授，一般说来科学家尤其是数学家之间通信少了。我保存着所有相识的科学家来过的信，前后时间跨度40多年，从这些信里可以看出一个逐渐发生，并在战后加速了的变化过程，即从长的、私人交往式的、手写的信件日益变为公务式的、枯燥乏味的、打字的条子了。在我近年的通信往来中，只有两个人写信还是用普通手写体：乔治·加莫夫和保罗·厄多斯。

诺贝尔奖获得者物理学家杨振宁讲过一个故事，说明了现在数学家和物理学家在认知方面的关系：

一群人一天晚上来到某城，因为有衣服要洗，就上街去找洗衣店，找到一个橱窗里有“此处接收需洗衣物”招牌的地方，其中一个人就问：“把我们的衣服给你们行吗？”店主说：“不，我们这里不洗衣服。”客人说：“怎么，你橱窗里的招牌上不是写着吗？”回答是：“这里是造招牌的。”这就有点像数学家的情形，数学家是制作招牌或者说记号的，并且希望自己制作的记号能适合一切可能发生的情况。不过，物理学家也创立过许多数学思想。

在社会科学方面，据我这样一个外行看来，目前还没有什么称得上理论或深刻的学识的东西，这也许是因为我无知。不过我总有这样的一种感觉，即只要注意表面，或者看看比方说《纽约时报》，就能在经济学上像大专家一样有眼光有学问了。因为我认为除了一些人人都能懂的常识，目前那些专家没半点办法能创造出较大的经济或社会——政治奇迹。

如果有朝一日发现宇宙中——可能在远离太阳系千万光年以外——存在其他智能生物，那这一进展的影响将是我们所无法估量的，我认为它将比任何现在的宗教信仰都要大得多。完全有可能突然发现并破译了很久以前发出的电磁波。如有迹象或证据表明确有不可能与之进行双向通讯的那种东西存在，那对人类将有极大的影响。这可能很快就会发生，它或者会引起极大恐慌，或者相反，造成新的信仰。

我们都读到过关于飞碟和其他不明飞行物的情况。在爱德华·U·康登指导下对这个问题作了彻底的研究。很容易证明了大多数情况要么是视觉上的幻象，要么是正常的大气现象。但还有一些是确有根据的令人大惑不解的UFO现象。例如威尔逊山的天文学家曾在散步时看见一个很奇怪的流星状物，待回到天文台时又发现放射量达到峰值。也有一些飞行物，由飞机上的仪器和雷达同时示踪，也没有得到解释。

费米曾经问道：“众生何在？其他生命的踪迹何在？”

就我所见，未来10到15年内将比任何别的因素更能改变世界的生活方式的是新的生物学。有些初看起来相当普通的发现已经对世界的组成发生了甚至比世界大战更大的影响了：比如新的药品，像青霉素和避孕药就从两个相反的方面改变了人口平衡。

我最近在一星期之内就听说了两项癌症研究上的重要成果，这足以说明生物科学进展速度之快。一项是密执安的一位科学家在人乳腺癌细胞里发现了一种病毒。另一项是在波尔德实际完成的实验，那里有一台极好的电子显微镜，用它搞成了一种惊人的新技术。基思·彼特和他的同事们培养出了能取出细胞核的细胞，这些细胞核并未损伤，可以移植到其他已去核的细胞里，所以这实际上是细胞间核的交换。例如可以把一个癌细胞的核取出并放入正常细胞里，于是这新的细胞会变得正常起来。这是非常了不起的成就，它说明有些指令可能不是像通常所认为的来自细胞核，而是来自细胞质。

将来，影响地球上人类生活面貌和生活方式的，主要是食物生产和更换的新途径，它将比任何现在词义上的政治——社会——经济进展的影响都大得多。所有这些可能都是很显然的，但有时候很明显的事情，在实现以前还是有必要再三强调。世界将大为改观。