小学数学教学

小学数学教学论
第一章序论
一、为什么小学数学教师要了解小学生如何学数学？
首先是小学数学教师专业民发展的需要。
第二也是教育改革形势发展的需要。
第三也是促进学生全面发展，特别是培养学生的创新意识和实践能力的需要。
二、儿童怎样学习数学的主要理论
认知心理学与建构主义学说构成是小学数学学习理论的重要基础。
1．皮亚杰的发展阶段理论
皮亚杰认为，儿童的思维发展，可以分为四个阶段：第一阶段是感觉运动阶段，从初生到二岁间的儿童处于这一阶段。第二阶段是前运算阶段，从二岁到七岁之间的小孩属于这一阶段。儿童开始了解到简单的符号象征真实世界的事物。第三阶段是具体运算阶段，这个阶段的儿童大约从七岁到十二三岁左右。儿童在这一阶段的思维一般不能离开具体事物的支持。第四阶段是形式运算阶段，这一阶段发生在十岁或十二岁以后。这一阶段学生可以在一定程度上进行形式思维，根据假设进行逻辑推演的思维等。
2．柯普兰的《儿童怎样学习数学》
儿童数学认知发展表
概念
掌握相关概念的大致年龄
概念
掌握相关概念的大致年龄
简易分类
4—7岁
结合性质
7—11岁
系统次序
4—9岁
分配性质
9—11岁
数目守恒
4—7岁
欧几里得几何图形
4—9岁
度量衡守恒
4—9岁
时间
7—11岁
加法
7—9岁
面积
9—11岁
乘法
7—9岁
体积
11—15岁
倍数
7—9岁
比例
7—15岁
交换性质
7—9岁
概率
9—15岁
在学习过程方面，柯普兰重视数学概念知识的作用，认为数学学习是一种概念及概念之间关系的学习，教师应鼓励儿童理解数学概念及其分类，要验学生独立思考的机会和发现数学知识的乐趣。他提出儿童对数概念的理解必须由儿童自己获得，教师的责任是提供一个良好的教学环境，提供适当的问题来引导儿童学习。他认为数学操作活动对于学生学习数学概念具有重要作用，他介绍了数学实验室的具体做法，目的是打破传统课堂的呆板模式和严肃的气氛，给儿童更多的活动与交流的自由。
3．布鲁纳的认知序列学说
美国著名的教育学家布鲁纳将儿童的理解能力发展分为三个阶段：第一，动作阶段。第二，表象阶段。第三，符号阶段。他认为，动作—表象--符号是儿童认知发展的程序，也是学生学习过程的认知序列。他建议，应该按照学生理解能力发展的程度来组织数学课堂学习，尽量举例以便解析复杂的数学概念。如：加法结合律可以经过三步。第一步，可以用小棒、积木来演示；第二步，以数字来表示如（1＋4）＋5=1＋（4＋5）；第三步，用符号来表示。
4．迪恩斯关于学具的研究
5．利贝克的四个基本环节
利贝克接受布鲁的思想，认为学生的数学学习可以概括为经验、语言、图象和符号四个基本环节。经验就是学生自己的活动或者他们接触客观事物的体验。语言就是学生自己对经验的概括，学生用一定的语言对经验进行刻画。图像指学生在头脑中形成表象，这些图像能引起和帮助他们理解数学概念，为进一步概括提供基础。符号指学生认识和写出代表概念的符号，掌握的数学概念的概括程度进一步提高，有助于数学知识的迁移。学生的数学学习中存在下面几个差异：学习速度，学习情绪体验，理解能力。
6．比格斯的数学学习要点
第一，小学生思考的方法和能力虽然各有不同，但是他们都会因年龄和经验的差异而必然经过几个学习阶段。第二，小学生学习数学概念的速度比我们想象的慢得我，他们要通过实际活动才能够掌握具体概念，进而学习抽象概念。第三，学生的实际体验具有重要作用，因此教师应善于用学习儿童根据本身的经验支分析事物的关系，然后在适当时候引入数学语言。第四，儿童掌握概念后，必须有适量的练习，才能够巩固所学的数学知识。
7．学生对数学语言的理解
小学生的数学语言大致可分为三大类：第一类是专有名词。第二类是表示计算过程的名词。第三类是有助于理解题意的一般词。
美国学者柯尔归纳出数学阅读理论的以下几个要点：第一，数学阅读能力，指的是保存数字、数量、长度、容量和重量等概念的能力。数学阅读能力是一种重要的数学能力。数学阅读能力是数学思维的基础。第二，数学阅读对于解决问题具有重要作用。三种必要的阅读技巧：解释词汇、解析问题字面的意义以及对问题情境的理解能力。第三，学生理解数学语言是一个逐步发展的过程。
三、小学生如何学数学
从宏观来看，教师的工作在很大程度上不是去教会学生什么，而是创设良好课堂环境，引导学生参与课堂教学活动，让学生在自己的活动中学到知识，获得发展。从微观来看，指学生如何理解和探索数学知识、如何发展重要数量观念和逻辑思维能力等问题。一个成功的小学数学教师，既要关心学生在课堂中的主体参与，又要关注学生在具体领域的数学理解的发展。
第二章  小学数学学习概述
教师的首要任务是指导学生进行有效的学习。
一、             建构主义的学习观与小学数学学习
1．不同的学习观
A．行为主义心理学理论认为学习的重点是行为改变的量。学习的基本因素包括内驱力、线索、反应和奖赏。学习要素是动机、练习、强化和反馈。
2．建构主义学习观与小学数学学习
建构主义强调学习是由学习者自己决定的。学习具有主动性、社会性和情境性。它认为，学习是主体和客体之间的交互作用，学习者主动地去接触有关的信息，并利用学习者已有的知识和观念来解释这些信息。学习者以自己的经验和观点来构建客观世界，获得对客观世界理解并赋予意义。学生是学习活动的主体央建构知识的过程中，教师并不是知识的分配者，而是学习活动的共同参与者。教师注意的重点并不在教材上，而是在学生的认知过程上面，教师所关注的是提高学生学习的品质。
对建构主义学习观可以作如下概括：第一，课本知识是关于各种现象的较为可靠的假设，而不是问题的唯一答案。学生对这些知识的学习是在理解的基础上对这些假设作出自己的检验和调整的过程。第二，在建构自己的知识的过程中，现有的知识和经验具有重要的作用。第三，强调教学中的社会性和相互作用对于知识建构的重要作用，主张教师与学生、学生与学生进行丰富的、多向的交流、讨论和合作解决问题，提倡合作学习与交互教学。第四，学习可分为初级学习和高级学习的不同层次。第五，重视活动性学习在学生学习中的重要作用。
建构主义的学习砚对我们理解小学数学学习有一定的启示。首先，小学数学学习是指小学生自己建构数学知识的活动。其次，小学数学教学是师生双方交互作用的过程。教师是“布题者”而非“解题者”；学生是主动探索知识的建构者，而非只是模仿者。在数学课堂中，师生双方捕捉对方的想法，双方产生积极的互动。教师应积极了解学生思考的情况，注意学生的学习过程。
数学学习的五个步骤：1查询2受指导的定向3明了4自己定向5综合。
二、             经验、活动、思考和再创造
小学生学习数学有以下几个特点：
第一，         小学生学习数学是他们生活常识的系统化。学生从现实出发，经过反思，达到“数学化”。在这一过程中，“数学现实”和“反思”是十分重要的。对于学生来说，数学现实就是他们的经验。经验在小学生学习数学的过程中具有重要意义。小学生学习数学是以经验为基础的认识过程，他们头脑中的数学往往和成人的理解有不同的含义，数学对小学生来说，是他们自己对生活中的数学现象的解读。
第二，         数学学习是学生自己的活动过程。学习是主体在现实的特定操作过程中对自己的活动过程的性质作反省、抽象而产生的，学习数学是一个“做数学”的过程。学生用自己的活动建立对人类已有的数学知识的理解。现实的、有趣的和探索性的数学课题的学习活动要成为数学学习内容的有机组成部分。
第三，         小学生学习数学是一个思考过程。数学学习的本质是学生获取数学知识，形成数学技能和能力的一种思维活动。思考是学生学习数学认知过程的本质特点，是数学知识的本质特征。学生从数学现实出发，在教师帮助下，自己动手、动脑做数学，用观察、模仿、实验、猜想等手段惧材料，获得体验，并作类比、分析、归纳，逐渐达到数学化、严格化和形式化。
第四，         数学学习是一个再创造的过程。数学学习本质是学生的再创造。要让学生经历一个再创造的过程。
三、小学生的数学思维小学生数学思维具有以下几个特点：
第一，小学生数学思维是对自己的数学活动的反思。
第二，小学生的思维由具体形象思维为主向气象逻辑思维为主发展，小学生的数学思维同时具有形象思维和抽象思维的形式。
第三，创造性思维是数学思维中的重要成分。
小学生的思维品质主要表现在敏捷性、灵活性、深刻性、独创性和批判性等方面。
四、小学数学学习的分类
1．概念性知识的学习
概念性知识也称为叙述性知识。我们把概念（定义）、公式、处理事情的法则、科学原理、定律、规则等都称为概念性知识。
学生获得概念，一般有概念同化和概念形成两种方法。当学生学习新概念时，利用认知结构的已有概念与新概念建立起联系，从而掌握新概念的本质属性，这种获得概念的方法称为概念的同化。学生依靠直接经验，从大量的具体例子出发，概括出新概念的本质属性，这种方法称为概念的形成。
小学生学习数学经历了由日常概念与科学概念交互作用的过程。
2．运算技能的形成
运算技能的形成分为三个阶段，第一阶段是认知阶段，第二阶段是联结。第三阶段是自动化的阶段。运算技能属于程序性的知识。程序性知识是关于如何做的知识，它和概念性知识有如下不同：程序性知识是动态的，学习过程较为缓慢，学得以后可能比较难以修正。应该注意的是，对于解决问题的过程，让学生达到程序化甚至自动化是有害的。
3．问题解决的学习
小学生解决问题有两种主要方式，即尝试错误式和顿悟式。前者是通过进行无定向的尝试，纠正暂性尝试错误、直到解决问题。后者好像是突然出现的，但实际上有一定的心向，而这种联系正是问题赖以解决的基础，并伴随着对作为解决问题依据的规则、原理的评价或识别。这两者在解决问题中是相互结合的。
4．学习如何学习
学习如何学习的目标，是使学生在学习的过程中掌握一些重要的学习策略，使学生学会学习。在小学数学学科中，要培养学生以下几个方面的学习策略：第一类是认知策略。包括有关注意力的策略，对数和开记忆的策略，数学理解和思考的策略等。第二类是元认知策略。元认知策略包括自我调整的策略，问题解决中的反思策略以及阅读后的反思策略等。第三类是动机策略。包括个人学习动机、成就归因和自信心等。第四类是例行性思考的策略。包括个人的推理及问题解决能力的训练等。
五、数学学习的层次
学习可分为 三个层次：第一、量化的层次，学习是一个学了多少的问题，与此相对应，教学主要是知识的传递。第二，工具的层次，学习是在一个教和评估的学习机制中呈现效果的，教学是一套有效技能的和谐组合。第三，质的层次。学习涉及意义、理解和解释世界的方式，教学是学生和教师积极投入的互动过程。这种理论可归结为三点：第一，学习是一种建构，第二，学到的知识取决于看待问题的方式，第三，学习是自我决定的。
第三章小学数学学习的基本问题
小学数学的学习目的，大致可分成两个方面，一是促进学生自己的认知和情感品质的一般发展，二是形成学生基本的数学素养。
一为发展而学
小学生在数学学习中的发展包括了情感、认知、思维和能力等方面。这四个方面发展的核心是人格的发展。
第一，是情感的发展。数学教学中的情感发展主要包括：⑴学生对数学、数学学习活动的兴趣。主要包括对数学的好奇心与求知欲；在数学学习活动中的主动参与以及对数学学习的喜爱等。⑵自信心的意志力主要包括学生在数学学习中获取成功的体验，逐步树立学好数学的信心以及锻炼克服困难的意志。⑶学习数学的态度与习惯。主要包括探索创新]、合作交流与严谨求实态度及习惯。
第二，认识的发展。主工包括学生对自己认识和对数学认识的发展，使学生具有正确的自我概念和数学观。
第三，思维的发展。
第四，能力的发展。
二、为形成学生的数学素养而学
1．数学素养的基本特征
数学素养的基本特征是它具有时代的内涵。
数学素养的第二个特征是它的广泛性。
数学素养的具有与日常生活密切联系的基本特征。
2．数学素养内涵之一：逻辑法则的掌握。
3．数学素养内涵之二：学会常规方法的使用。
4．数学素养的内涵之三：运用数学知识的能力。
三、对小学数学学科的再认识
1．成人数学与学生自己的数学
2．学校数学与街头数学。
3．学校数学与数学科学。
第四章小学生如何参与课堂教学
一、学生参与的含义
1．教学过程中的学生活动
2．学生参与的三个基本方面
3．如何考察课堂中学生的学习过程
二、行为表现、情感体验和认知策略的关系
1．情感投入和认知向往的关系紧密
2．行为投入与心理投入关系是可以分离的
三、学生参与对学习结果的影响
1．开放性问题是评估学生高层次思维能力的手段
2．学生参与对学习结果的影响
3．课外学习时间没有显著影响学习的结果
学生在课外所花的学习时间没有显著影响。首先，每天作业时间对学习成绩没有显著影响。学生每天的作业时间的增加没有促进学生学习成绩的提高，对开放性的问题成绩甚至有负面影响。产生这种情形，可能有以下几方面的原因：其一，学生本身的原因。学习能力较差的学生，可能在完成作业时花了比较多的时间，而这部分学生的成绩本身比较差。第二，由于学生不专心，使得做作业的时间长，部分原因是学生不理解知识内涵，在学习上存在一些困难。但学生本身的因素并不是全部影响这一结论的原因。当我们考察低分组和高分组的情况时，仍然没有发现两个组在作业时间上的显著差别。
其二，学习过程的原因。有不少学生每天花很多时间操练数学，但效果却不尽人意，进一步说明了决定学习的质，现时不仅仅是学习时间长短。事实上，一些片面投入（只有行为投入而没有积极情感投入和合理的认知投入）的学生花了大量时间学习数学，每天做功课到很晚，收效却不理想。如果能全面的投入（不仅有行为投入、而且有积极情感投入和合理的认知投入），才能真正提高学习的效果。练习过多，练习时间过长，有时也会引起学生的厌倦，并不有利于创新能力的提高，这也说明为什么每天作业时间增多有时反而会对开放题成绩有负面影响的作用。
其三，作业本身的原因。第一，许多习题往往没有针对性，学生的练习带有一定的盲目性。第二，一些习题质量不高，题型音调思考程度较低。第三，习题的数量很多，重复较多，容易引起学生对数学学习的厌倦，这样可能降低学生学习的效果。
长期以来，有些数学教师和学生都认为，只要时间花得多，学生成绩一定会提高。教师只要多布置家庭作业，学生成绩就能提高。本研究的结果表明，事实并不如此。学习过程的质比学习的量更重要。我们这里的研究结果，也许在一定程度上反映出目前数学教育中存在着一定的无效教学的情况，。这种教学的一个特征就是，学生花的时间多，题海战术盛行，但没有切实提高学生高层次思维能力和创新精神。
第五章小学生如何理解数概念
一、数学概念概述
1．概念形成是小学生获得数学概念的主要形式
概念的获得有两种基本的形式：形成和同化。概念形成是从大量具体例子中抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程。概念同化是指利用认知结构中已有知识来理解新的概念。
概念形成过程可概括如下：第一，辨别各种具体事例。第二，抽象出各个事例的共同属性并提出它们的共同关键属性。第三，概括并形成概念。第四，把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。概念教学一般分为这样几个步骤：引入、理解、巩固、深化。
2．学生掌握数学概念的认知水平
在一般的教学条件下，小学生掌握数概念是从具体形象概括为主要形式过渡到以抽象逻辑概括为主工形式。第一阶段是直观形象水平。第二个阶段是形象抽象水平。在他们对概念的理解中，形象的、本质特征的成分逐渐增加。第三个阶段是初步的本质抽象。他们对概念进行一些抽象概括，但还不能脱离他们生活领域的基础。
学生在理解概念时，有时会出现一些对概念的误解。教师应该把这种误解看作是一种正常的现象，因为每一个新概念的建构都必须经过自我调整阶段，所以帮助学生如何主动发现问题，并主动重新建构新概念才是最重要的。
二、幼小儿童是如何计数的
儿童在计数过程中必须遵循五条基本原则：（1）一一对应原则。（2）固定顺序原则。（3）基数原则。（4）顺序无关原则。（5）抽象原则。
儿童计数能力的发展，一般分为两个阶段：
1．按物点数。
2．按群计数。
小学生理解计数系统
1．认识十进制
数的十进制的基础结构的确具有不少优点。第一个优点是有助于比较方便地生成新的数。第二个优点是这种基数结构有助于写数的读数。第三个优点是以十进制为基础的计算高效、省时。
2．掌握计数法的特征：数的组成。
3．写数的作用。
4．加法活动对掌握计数法的作用。
5．语言提示对理解数的组成的作用
四、小学生如何发展他们的“数感”
美国国家数学教师委员会对数感作了如下的解释：（1）充分了解数意义；（2）了解数与数间的多种关系；（3）可以辨识数的相对大小；（4）知道数运算的实际效果；（5）能把数学知识与他们周围环境中常见的物体和情境相联系。
1．在现实情境中把握数的意义
数感的第一方面的含义是在现实情境中把握数的意义。其中包括了两个方面的含义：第一，是对数意义的把握；第二，数的意义的现实应用。这两方面实际表示学习者对数本身性质的敏感性。
2．数感发展的第二方面含义是在现实情境中把握运算的意义，即量的观念的发展。发展运算概念对小学生而言也是相当重要的。数运算概念实际上表达了数与数之间的现实关系，它可让小学生以“量”或者“量化”的思想观察现实世界。
第六章小学生如何学习加减法
一、情境是学生理解加减法的基础
学生的生活经验是他们学习数学的基础。实际生活情境对于学生理解加减法具有十分重要的作用。低年级学生的思维水平以具体的形象为主，他们更多地关注发生在自己身边的有趣而新奇的事物。学生在有趣的学习活动中，在运用数的知识解决简单问题的过程中，可以体会加减法的意义，探索数量关系，掌握加减法的基本运算。
1．根据情境提出问题
学生根据情境提出问题是运算概念发展的重要途径之一。问题提出和问题解决一样，是学习的重要形式。学生学习加减法是学习数学运算的第一个阶段，教师应该让学生提出自己的问题，发展学生观察和思考的能力，强化运算概念的现实背景。
2．情境在解决加减法问题中的作用
（1）实际情境有助于问题的解决。对于低年级学生来说，实物或者是表征实物的符号对于儿童解决问题有帮助。小学生逐渐把加减法和现实背景联系起来，获得加减法的现实意义。用这样的方法来学习数学，小学生会对运算的方法感到有趣，也可以体会到数学的美和有用性。
（2）英国教育学者休格斯证明当数在没有与有意义的情境相联系时，儿童在理解简单的加减法数目时会有困难。情境可以赋予数以意义，从而使抽象的数成为具体的物体。这说明在小学低年级数学教学中，教师适当创设学生熟悉的情境是必要的。
（3）随着学生思维的抽象水平的提高，他们可以在头脑中思考有关的情境，也可以用一些符号表示某些具体物体。
另外，教师在教学时要注意问题形式呈现的方式，适当安排一些多条件、多问题等的和开放式的问题，设计一些现实性强的和生动有趣的问题，改善学生的学习方式。
3．情境和加减法问题的类型
在良好的教学情境下，学生解决问题时不是把问题和类型相联系，而是思考情境中的问题与加减法意义的联系，在这一过程中获得对加减法概念的进一步理解。
如果学生死扣解题的类型，学生就不会着重思考其中的数学意义。这样，学生的思考空间缩小了。学生虽然发展了解题技能，但没有发展学生的数学理解和思考能力。
解决问题的方案
运算意义
情境
问题类型
解决问题的方案
情境
二、学生如何形成运算技能
1．从情境出发学习运算
要进一步加强在计算教学中的操作活动的要求，发展学生的数感。
2．算法的多样化
美国数学教育家培恩分析了一年级小学生的五种加法策略。第一种，数数。第二种，从大数算起。第三种，双倍数。第四种，近似双倍法。第五种，利用10的概念。（我觉得在计算20以内进位加法时，还有凑10法等也应该算）。
20以内退位减法的几种方法。第一种，数数法。第二种，破十法。第三种，逆算法（想加做减法）。第四种退十加补法。实际上学生的方法还会更多。
在学生学习中除了要形成一种较为高效的运算方法外，也应该适当关注算法多样化的问题。算法的多样化对于发展学生的独立思考和创造思考的能力是有帮助的。另一方面，在算法多样化的基础上，还要进一步比较、归纳，对计算方法进行优化，形成较为高效的方法，并对一些基本的运算通过种方式达到熟练。
3．算法的熟练化
（1）从建构事实到提取事实
对于算法的熟练化而言，适量的基本口算练习是必要的。20以内的进位加法和退位减法要达到熟练程度，计算中的一些常用的数据要在理解的基础上熟练记忆，这样会大大丰富学生的数字性事实，使学生较好地使用提取事实的方法解决问题。
但如果一开始学习加减法计算时，就让小学生记忆一些基本加减法口诀是不妥的。因为这时学生在头脑中，还没有理解这些数的事实。在没有理解的基础上记忆或者练习加减法不利于发展学生的思维，也不利于数学技能的真正掌握。
（2）学生掌握笔算方法的过程
学生在形成笔算历程中有三个阶段：认知阶段、联结阶段及自律阶段建立联结是小学生笔算技能形成的中心环节。
三、学生数学思维策略发展
1．相等的策略
2．比较的策略
3．转换的策略
转换是一种重要的数学策略。运用这一策略涉及了两种基本的思考方法。一是多种角度思考的方法，学生在解决问题时，可以从不同的角度思考，从中选择最佳的思路和方法。二是逆向思考的方法，当正向思考出现阻碍时，学生可以用逆向思考的方法。逆向思维一般比较困难，在课堂教学中，一些逆向思维的问题可以以思考题形式出现。
第七章学生如何学习乘除法
一、乘除法和新的数学情境
1．一对多的情境
2．两个变量的情境
3．平分的情境
二、小学生对乘除法问题的理解：乘法推理
1．儿童何时产生乘法推理
2．小学生如何解决乘法扒理问题
三、与乘除法有关的数学思想的发展
1．体验函数的思想
2．体验比例关系
3．理解“不变量”
四、学生运算和解决问题策略的发展
1．估算策略
2．口算策略
第八章空间观念的发展
一、经验几何的概念
小学几何包括简单的几何形体的认识、变换（平移、旋转、对称）、位置与方向的认识、周长、面积的计算及坐标的初步体验。这些内容是在小学生的经验和活动基础之上的。对于小学生的学习方法而言，他们对几何图形的认识是通过操作、实验而获得的，几何推理也以操作为基础。学生的几何思维也具有具体性和抽象性相结合的特点。
小学几何教学的目的是什么？是形成知识还是发展能力？我们认为，发展学生的空间观念是小学几何学习的核心。
二、学生几何思维的发展
小学生思维具有一定的具体性和形象性。通过观察、操作、归纳、类比等过程，获得具体的描述性结论，初步形成学生的推理能力和数学理解能力。
Van Hiele夫妇把几何学习的思维水平划分为五个等级。第一个是直观等级，学生能从外形上整体地认识图形，但不能清楚地确定图形的性质。第二个等级是分析，学生能对图形的性质进行分析。第三个等级是抽象，学生能将一些图形或性质联系起来，但还不会组织起一系列的例题来证明观察到的东西。这一阶段，学生能进行一些非正式的推理。第四个等级是演绎，学生能展开一系列例题，并进行推理。但他们还不能认识到严密性的要求，也不能理解演绎体系内部关系。第五个等级是严密，学生能以较高程度的严密性进行各种演绎推理。对小学生来说，主要达到前三个水平。
皮亚杰的观点归纳起来可以以下几个方面：第一，学生学习几何，先有具体概念，再有定义概念。第二，学生动手画图可以反映学生对几何概念的理解。第三，学生必须有积木游戏或者立体模型的经验才能认识立体图形，若从一个角度观察教师出示的模型是有限制的。第四，要让学生理解图形不变的原则，即认识图形不管怎么移动，其形状和大小都不变化。学生学习几何，应该着重开展各种活动。
三、学生发展空间观念的基本途径
学生发展空间观念的途径包括：生活经验的回忆、实物观察活动、操作活动、想象与表达活动等。
1．生活经验的再现
2．观察活动
3．操作活动
4．想象活动
5．交流活动
6．几何推理
7．创作活动
四、空间观念发展的几个心理特点
1．直观性
2．描述性
3．渐进性
4．偏重于明显要素
5．偏重于单个要素
6．从标准图形到变式图形
7．偏重对称图形
8．从二维空间到三维空间
五、影响空间能力发展的知觉障碍
1．辨位困难
2．视觉知觉
六、改善小学几何教学的思考
1．应进一步学习图形变换、确定方向和位置的知识，更全面地感知和体验周围的事物，认识和理解图形，逐步形成空间感。
2．要在对图形观察与操作、探究物体间的位置关系、想象与设计图形等活动中，逐步形成空间感；获得与图形和空间有关的基础知识和基本技能；经历观察、操作、归纳、类比、猜测等过程，发展合情推理能力；运用图形与空间的知识解决现实生活中的问题，并进行交流；体会几何发现的乐趣，初步感受图形与空间的美和推理的价值。
3．在学习方式上，我们提倡自主探索，逐步认识简单图形的形状、大小 和相互位置关系，初步认识一些图形的特征及性质，学会运用测量、计算、实际操作、图形变换、代数化以及简单推理等手段，解释和处理一些简单的几何问题，并在此过程中，发展学生的空间观念、几何直觉、图形设计以及推理能力。要在几何中大量增加有关空间图形和实验几何的内容。
4．要加强几何与生活的联系。要重视量与量的单位的实际意义，在测量过程中学会根据现实问题选择适合的测量工具，重视估测以及在现实生活中的应用。将视野拓宽到生活的空间，重视现实世界中有关的空间与图形的问题。通过自主探索，逐步认识简单图形的形状、大小 和相互位置关系，初步认识一些特殊图形的特征及性质，学会运用测量、计算、实际操作、图形变换、代数化以及简单推理等手段，解释和处理一些简单的几何问题。并在此过程中，通过从不同的角度面容物体、认识方向、制作模型等活动，发展学生的空间观念、几何直觉和图形设计与推理能力。
第九章问题解决的学习
一、问题解决的含义
1．什么是问题
在数学增长率领域，对问题解决的理解，主要存在两种观点。第一种观点是，问题作为一种日常的练习，问题解决等同于算法的操练。第二种观点是，问题指非常规的问题，学生必须探索、推理并有效地利用数学方法解决这些问题。问题解决的核心是要引起学生的数学思维。第一种观点把问题解决看作是巩固知识和获得新的技能的一种手段，通过问题来引入、复习、巩固数学知识。第二种观点把问题解决看作在新的情境下的数学思维，通过解决一系列非常规的问题，使学生的数学能力得到增强，而不仅仅是获得新的技能。
问题解决和解题练习有什么区别呢？第一，练习着重寻找答案；而问题解决着重寻找解决问题的过程。第二，练习往往针对某个知识或技能，着重对某项数学技能进行练习；问题解决着重“如何”将刑事处分知识和技巧运用到新情况中，具有综合性的特点。第三，练习着重快速获得正确答案；而问题解决着重如何寻求创造性的用法，问题解决是一种探索和研究的活动。第四，练习可以对某一类习题反复演练；问题解决中的“问题”具有新颖性。总之，从这些观点看小学数学教学，问题解决是一个学生进行数学思考的历程。
问题解决的实质是数学思考。问题解决是指一种受目标指引的认知性操作序列。其中包括三方面的因素：目标的指引性、、操作序列及认知性的操作。
2．问题解决的模式
第一种模式是信息加工的模式。
第二种模式是元认知模式。
第三种模式是社会应用模式。
第四种模式是人文数学的模式。
3．问题的现实性、思考空间和趣味性
（1）问题的呈现应该能激起学生的思考。应用问题的叙述方式，解决问题步骤的多少，是否具有中间问题和隐蔽条件等，都对思考空间有影响。另一方面，学生对问题熟悉程度，也对思考空间有影响。（2）问题要有一定的现实性。第一，是内容的现实性。问题的内容应该是学生熟悉的内容，而且是现实生活中可能发生的。（3）要使问题具有现实性，设计问题时的加工度要适当。要使问题具有现实性，对问题的加工不应太精细。（4）问题要有一定的趣味性。首先，语言要简单明了；其次，内容结合学生的生活实际，情节比较有趣。
二、问题解决的过程
1．问题解决中思考的过程
美国心理学家奥苏伯尔等认为，解决问题一般要经历下述四个阶段：第一阶段，呈现问题情境的命题。第二阶段，明确问题终目标与已知条件。第三阶段，填补空隙过程。学生看清了已知条件和目标之间的空隙或差距，并建立联系。这一过程是解决问题过程的核心。第四阶段，解答之后的检验。
心理学家澳勒斯根据发明家解决问题的经验，探索创造性问题解决的过程，将此过程划分为四个阶段，即准备、孕育、明朗和检证。
杜威提出了五步模式。第一步产生怀疑，即产生认知上的困惑感；第二步尝试从情境中识别出问题；第三步使问题情境中的命题与已有的认知结构联系起来，激活有关的头脑中已有知识与方法，又进一步对这些知识和方法重新进行组织或转换，提出解决问题的假设；第四步对假设作检验；第五步将成功的答案组合到认知结构中。解决问题中策略性知识等具迁移的作用，它可以应用于许多新的例子。在不少的实际情况下，这五步顺序是交错使用的。
小学生解决数学问题的思考过程大致也是经历了以下几个五一节：第一，要有一个问题的情境以激发小学生的疑问；第二，让小学在已有知识的基础上提出解决问题的过程。这一过程是学生的思考不断发展的过程。
2．问题解决的活动步骤
解决问题中五个步骤看来是有普遍意义的。第一步是认清问题。小学生必须认识问题之存在，注意问题的性质与特点。第二步是分析问题。第三步是提出设想。第四步是选定最佳方案并解决问题。第五步是进行反思。
发现问题是解决问题的基础。在进行解答问题教学活动前，要让学生自己发现和选择问题。无论是从课堂的教学活动中，从学校的学习环境中，或从学校所在的社区内，都存在着值得研究的数学问题。教师要注意引导学生去发现和提出各种数学问题。
三、小学生问题解决策略性知识的发展
1．几种重要的策略
一般说来，小学生解决问题的策略大致有以下几个方面。
第一，         猜测。猜测是一项重要的思考策略。
第二，         作图。作图不仅包括线段嵊，而且包括实物简图等。
第三，         举例。这项解题策略的裨就是把问题情境图解化。
第四，         情境。学生在解决问题的过程中，用人或物模拟问题的情境，使学生比较清楚问题的具体情境，使语言叙述的问题变得生动具体，便于理解。
第五，         简化。简化可以是去掉一些无关的因素，也可以把大问题变化成几个小问题，使因果关系比较清晰。省略也是一种基本做法，即除去不适用的资料，减少解题活动时的困扰。
第六，         验证明。验证是确定结果的过程。验证可以多种方法进行，验证也涉及到多种思考的方法，验证也涉及到对解决问题过程的回顾。更进一步，学生可以通过演绎或者图解说明某一假设或者一个结果。
第七，         延伸。
也有一些研究者把解决问题的策略分为审题、解决问题和回答问题三个部分。审题的策略如：再读一次题目，写下已知的信息；找寻关键词句；找出重要信息；用自己的话复述等。分析问题的策略，打出数量关系，画图。猜测并检验，列出清单或表格，使用物体模仿题目情境，使用推理策略，简化问题，倒回来解题等。解答问题包括反思，学生可以问自己有没有使用所有重要的信息？工作过程有无错误？得出答案是还有意义？等等。
2．理解数量关系
发展学生学习问题解决策略的要点：第一，教师应鼓励学生不要对问题心存恐惧。第二，教师应鼓励学生发问。第三，教师应设法维持学生学习的欲望，有时候可以让学生自行挑选题目作答。第四，教师应鼓励学生尝试新问题，发现新的解法。第五，教师必须发展学生正确的学习态度。第六，教师必须发掘学生潜在解答问题的技能。第七，教师应该多发现有趣的问题，应创造富有启发性的教学环境。第八，教师根据学生的学习意愿，制订学习解答问题的计划，教师并不要求学生解答所有的问题，有时可以以问题作为新单元的引导。同时，小学数学教师本身也要加强对解决问题策略的学习。
问题解决是近二十年来数学教育的重点，它也是目前我国小学数学教学改革的一个重要问题。我们认为，问题解决学习应该处于小学数学学习的中心地位。小学数学教师应该把学生引导到问题解决活动中去。生活活泼的、思考性的现实的问题解决活动应该成为小学数学学习中的一个重要内容。小学数学教师应当努力创造一种鼓励学生探索、解决问题，进行数学思维的课堂环境。
第十章改善小学生数学学习方式
一、“做数学”的理念
二、学习形式多样化的几种探索
1．“生活中的数学”
2．“Hands on”的活动
3．在计算机环境中学习数学
4．“小课题”与“长作业”
第十一章对小学数学教学的思考
对教学观念的思考
1．关注学生创新意识和创新能力的发展
2．激励和尊重学生多样性的独立思维方式
3．提倡多样化的数学学习方式
4．加强数学学习和现实的联系
5．让学生成为学习的主人
6．让学生会学和乐学
7．开展综合实践活动
8．努力使用计算机科技
9．教学目标的个性化与差别化
10．关注数学与其他学科的综合
二、对教学策略改革的思考
1．讨论策略
讨论是一种重要的教学策略，它的方式有很多种：第一种是小组主题讨论。每人担当一项工作，围绕一个主题进行讨论，这种方法比较适合课题学习。第二种方法是角色扮演。这种方法比较适合通过模拟情境解决应用问题。第三种方法称为头脑风暴的讨论。请各级成员尽量把想到的点子写下来，越多越好。
2．探究的教学策略
在小学数学教学过程中，主要应用归纳探究的教学策略。归纳探究是学生的一种思考的历程，学生对呈现的各种实例进行观察、推论，并进行概括。分为引导式和非引导式两种情况。
3．思考教学的策略