二、整除的几条性质

整除的以下性质是最基本的，也是最常用的。
（1）a｜a（a为非零整数）；
（2）若a｜b，且b｜a，那么a＝b；
（3）若c｜b，且b｜a，那么c｜a；
（4）若c｜a，且c｜b那么c｜（a＋b）；若a≥b，那么c｜（a－b）；
（5）若m是非零整数，且b｜a，则必有bm｜am；反之，若bm｜am，则必有b｜a；
（6）如果b｜a，c｜a，且b、c没有除1以外的公共约数（此时称b、c互质），那么bc｜a。
对于（3），如由2｜4，4｜12，可推出2｜12。
对于（4），如由4｜36，4｜16，可推出4｜（36＋16），4｜（36－16）。
对于（5），如由3｜9可推出3×4｜9×4。反之，由3×4｜9×4可推出3｜9。
对于（6），如由3｜24，2｜24，且3和2之间没有1以外的公共约数（即3与2互质），可推出3×2｜24。这一性质在很多情况下将被多次使用。
例1 求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。
分析：由于要求被9整除，可只考虑数字和、又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为9的倍数。
解：一个以5为首位的六位数5×××××，要想使它最小，只可能是501234（各位数字均不相同）。
但是501234的数字和为5＋0＋1＋2＋3＋4＝15，并不是9的倍数，故只能将末位数字改为7。这时，5＋0＋1＋2＋3＋7＝18是9的倍数，故501237是9的倍数。
即501237是以5为首位，且是9的倍数的最小的六位数。
例2 老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数，回校后发现有两个数字已看不清了。你能帮助补上这两个数字吗？（□13.7□元，□中为看不清的数字）。
分析：首先将□13.7□元化为分，这样总钱数就是□137□分（整数分）。由于每本书价格相同，所以72｜□137□。但72＝8×9，所以8和9都应整除□137□。
由于8整除□137□，所以8｜37□。由此可知，当37□＝376时，才有8｜376。故原数为□1376。
又由于9整除□1376，所以其数字和□＋1＋3＋7＋6必为9的倍数。
即9｜（□＋17）。而□只能是1到9中的某个数，所以□只能是1。
因此，原数为11376分，即113.76元。
例3 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能的小。
数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：
（1）数字和（5＋6＋8＋a＋b＋c）是3的倍数；

（3）末位c为0或5。

又因3｜（5＋6＋8＋a＋b＋c），即3｜（5＋6＋8＋a＋b＋0），所以
当b＝2时，3｜（5＋6＋8＋a＋2），a可为0，3，6，9。
当b＝4时，3｜（5＋6＋8＋a＋4），a可为1，4，7。
当b＝6时，3｜（5＋6＋8＋a＋6），a可为2，5，8。
当b＝8时，3｜（5＋6＋8＋a＋8），a可为0，3，6，9
当b＝0时，3｜（5＋6＋8＋a＋0），a可为2，5，8。

例4 求能被26整除的六位数□1993□。
分析与解：由于26＝2×13，所以所求六位数□1993□应分别被2和13整除。
被2整除的数个位只能是0，2，4，6，8；所求六位数被13整除，必有□19与93□的差（93□－□19）是13的倍数。
（1）当原数个位为0时，930＝71×13＋7，故□19也应满足被13除余7。
□19＝100×□＋13＋6＝7×13×□＋9×□＋13＋6
＝13（7×□＋1）＋9×□＋6
即9×□＋6＝13K＋7
∴ 9×□－1应是13的倍数，故□只能是3。即六位数为319930。
（2）当原数个位数为2时，932＝71×13＋9，故□19也应满足被13除余9。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴9×□＋6＝13K＋9，故9×□－3应是13的倍数，□只能是9。即六位数为919932。
（3）当原数个位数为4时，934＝71×13＋11，故□19也应被13除余11。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴ 9×□＋6＝13K＋11，即9×□－5应是13的倍数，故□只能是2。即六位数为219934。
（4）当原数个位数为6时，936＝72×13，所以□19也应被13整除。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴9×□＋6＝13K，9×□－7＋13＝13K，故9×□－7应是13的倍数，□只能是8。即六位数为819936。
（5）当原数个位数为8时，938＝72×13＋2，故□19也应被13除余2。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴9×□＋6＝13K＋2，即9×□＋4应是13的倍数，□只能是1。即六位数为119938。
综合以上情况，满足条件的六位数有：
319930，919932，219934，819936，119938，共五个。
例5 将自然数1，2，3…依次写下去组成一个数12345678910111213…。如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，问这个自然数是多少？
分析与解：由于要求恰好第一次能被72整除，因此，应以从前往后的顺序去寻找。
如果先考虑被8整除，那么末位应为偶数，且末三位数字组成的三位数应是8的倍数。
因而依次看三位数
234，456，678，810，112，314，516，718，192，920，202，212，122，222，232，324，242，252，526，262，272，728，282，930，132，334，536，738，394…中哪些是8的倍数。
如知456、112为8的倍数，就要再看123456以及123456789101112是否为9的倍数。由于123456的数字和为21，123456789101112的数字和为56，都不是9的倍数，所以不满足题目的条件。满足条件的数要在其它8的倍数中寻找。
象这样试验三位偶数能否被8整除，速度较慢，由于被8整除的数一定能被4整除，故只须对被4整除的数（这种数极易看出）进行检验即可。
经检验，形如123456…，末三位为516，192、920，232、272、728的自然数都不是9的倍数。而当末三位为536时，才满足题目的条件，即
123456789101112…33343536
恰被72整除，故所求自然数为36。
现在换一种方法，先考虑被9整除，再考虑被8整除，由于数 123456789101112…18192021…前九个数字之和为45，是9的倍数，故在考察位数超过九的数是否被整除时，前九个数字可不再看；
接下来，由于101112131415161718的数字之和为45，是9的倍数，故在考察位数超过27位的数是否被9整除时，前27个数字可不再看；
1920212223242526的数字之和为36，是9的倍数，因而在考察位数超过43位的数是否是9的倍数时，前43个数字可不再看；
272829303的数字的之和为36，是9的倍数，因而在考察位数超过52位的数是否被9整除时，前52个数字可不再看；
1323的数字和为9，因而在考察位数超过56位的数是否被9整除时，前56个数字可不再看；
33343536的数字和为27，因而在考察位数超过63位的数是否被9整除时，前63个数字可不看。
以上做法把按自然数依次写下去组成的数分成若干段，各段的数字和均为9的倍数，即
123456789｜101112131415161718｜1920212223242526｜27｜2829303｜132333435｜36｜…
然后从中再看各段末三位数字组成的三位数是否为8的倍数。
789、718、526、627、303、435都不是8的倍数，但536是8的倍数。
即写到36时，第一次恰好是72的倍数。
这样做比先考虑被8整除，后考虑被9整除要快速简单得多。